|
Раздел «Ряды»
Задача №1
Исследовать сходимость ряда .
Решение. Пусть х≠πk (k є Z) и ряд сходится. Тогда должно выполняться необходимое условие сходимости ряда:
(х≠πk) (1)
Отсюда следует, что т.е.
(2)
С учетом (1) из (2) следует, что
(х≠πk) (3)
Из (1) и (2) следует, что
но это противоречит тождеству Это противоречие следует из предположения сходимости ряда при х≠πk (k є Z) и равенства (1). Значит, если х≠πk, то данный ряд расходится.
Если же х=πk (k є Z), то при k є Z и сумма такого ряда равна нулю.
Задача №2 Вычислить .
Решение. Дважды проинтегрировав степенной ряд
,
получим
,
, ,
откуда следует, что
.
Подставляя , получаем
.
Задача №3
Исследовать на сходимость ряд
Решение. Общий член ряда имеет вид
(n=1, 2, …)
представим получаем
и т.д.
Получаем Но так как ряд - сходится (беск. убыв. геом. прогрессия), то по теореме сравнения сходится и данный ряд.
Задача №4
Если в гармоническом ряде
вычеркнуть все члены, знаменатели которых, записанные в десятичной системе, содержат цифру 9, то оставшаяся часть ряда будет сходящейся.
Решение.
Для определения тех неотрицательных целых чисел, расположенных между и , которые записываются лишь при помощи цифр , распределяем эти 9 цифр между местами всеми возможными способами. Этим путем получается в совокупности чисел. Пусть теперь есть -е неотрицательное число, записываемое без цифры 9. Если , то , следовательно,
.
Или проще: число чисел, записываемых без цифры 9 и заключенных между и , равно . Следовательно, сумма интересующей нас части гармонического ряда меньше чем
Задача №5
Доказать, что
Решение.
Полагаем, что , тогда . Для положительных неравенство выполняется тогда и только тогда, когда , т.е. меньше положительного корня квадратного уравнения . Отсюда вытекает, т.к. , что , откуда заключаем, что существует и ; далее , т.е. . Аналогично определяется значение непрерывной дроби, где рекуррентной формулой будет:
.
Задача №6 Найти разложение в ряд Фурье функции , если .
Решение. - четная, ,
.
, если .
, если .
, если .
, если .
Тогда , .
Задача №7 Найти сумму ряда
Решение. , .
;
;
, тогда
.
;
;
;
Тогда
Задача №8 Найдите сумму ряда , если известно .
Решение.
;
;
;
, тогда .
тогда
.
Задача №9 Найти разложение в ряд Фурье функции , .
Решение.
- нечетная,
, если
, если
, если
, если .
Тогда ;
, то
Дата добавления: 2015-08-28; просмотров: 67 | Нарушение авторских прав
<== предыдущая лекция | | | следующая лекция ==> |
Задача 1.Исследовать на сходимость ряд. | | | 1. Исследовать сходимость числового ряда. |