|
РАЗВИТИЕ ПОНЯТИЯ «ВЕЛИЧИНА»
Все оттенки смысла умное число передает.
Н. Гумилев
«Величина» — одно из основных математических понятий, смысл которого с развитием математики неоднократно менялся, становясь все более общим. Первоначально понятие величины связывали с различными системами чисел (целых, положительных, рациональных, действительных, комплексных). К более широкому пониманию величин привели новые числовые системы (кватернионы, гиперкомплексные числа), а также и новые математические объекты (матрицы, тензоры, спиноры).
Целые положительные числа в Древнем мире
Единственный естественный предмет математической мысли есть целое число.
А. Пуанкаре
Арифметикой называют область знаний о числах и операциях в числовых множествах. Предметом арифметики являются рассмотрение вопросов о происхождении и развитии понятия числа, приемы и средства вычислений, исследование операций с числами различной природы, анализ математической структуры числовых мно-
жеств, свойства чисел. Частью арифметики, изучающей свойства целых чисел, является теория чисел [65].
Представление о понятии числа, сложившееся у математиков какой-либо эпохи, всегда свидетельствует о том теоретическом уровне, которого достигла к тому времени математика, и определяет границы их арифметико-алгебраической практики.
Первыми целые числа исследовала группа философов, интересующихся математикой. Они называли себя пифагорейцами в честь своего руководителя и вдохновителя Пифагора, который был выдающимся мистиком и ученым. Исследуя свойства чисел, пифагорейцы разбивали их на классы. Одни их термины используются и сейчас, другие вышли из употребления. У пифагорейцев числа разделялись на четные и нечетные, четно-четные и нечетно-четные, простые и составные, совершенные, дружеские, треугольные, квадратные, пятиугольные и т. д.
Треугольные числа выражают числа шаров, уложенных в виде треугольника. Их последовательность 1, 3, 6, 10,..., п(п + +1)/2,... (рис. 14).
О
О о о
О О О ООО
Рис. 14. Треугольные числа
Квадратные числа соответствуют числу шаров, уложенных в виде квадрата. Их последовательность 1,4, 9,16,..., п2,... (рис. 15).
О о О о ООО о О О о
ОО ООО о о о О
о ОО ООО оооо
Рис. 15. Квадратные числа
В общем случае fc-угольные (фигурные) числа выражают числа шаров, уложенных в виде правильного А:-угольника. Их последовательность 1, к,..., п + (к — 2)п(п — 1)/2,...
Тетраэдрические числа соответствуют числу шаров, уложенных в виде тетраэдра (правильной треугольной пирамиды). Их последовательность 1, 4, 10, 20,..., п(п + 1)(п + 2)/6,... (рис. 16).
Рис. 16. Тетраэдрические числа
Пифагорейцы исследовали свойства чисел и сделали числа основой своей философии Вселенной, пытаясь свести все соотношения к числовым соотношениям («всё есть число»).
Относительно скрытого значения чисел есть достаточно предположений. В этой сфере сделано много интересных открытий, но можно согласиться с тем, что со смертью Пифагора великий ключ к этой науке был утерян. Уже 2500 лет философы всех народов пытаются размотать «клубок Пифагора», но никто из них полностью не преуспел в этом. И хотя сохранившиеся фрагменты учения Пифагора позволяют прикоснуться к сокровенному знанию, надо сказать, что основные секреты никогда не записывались, а передавались из уст в уста, от поколения к поколению, открывались немногим избранным ученикам. А те не смели передать свои тайны непосвященным, и тайны умерли вместе с ними.
Пифагор был выдающимся предсказателем, многие его последователи пытались раскрыть секреты чисел, основываясь на его учении. Появилась целая оккультная наука — «нумерология».
В «Энциклопедии нумерологии» есть алгоритм «Формула Пифагора» для анализа информации о человеке, заключающейся в дате его рождения [114]. В соответствии с этим алгоритмом проводятся следующие действия:
1) записывается дата рождения (число, месяц, год);
2) суммируются все цифры даты рождения;
3) суммируются цифры итогового числа, если в п. 2 получилось двузначное число;
4) определяется разность между итоговым числом по п. 2 и удвоенной первой цифрой (цифрой, не числом!) даты рождения по п. 1;
5) определяется сумма цифр итогового числа по п. 4.
Нули вычеркиваются, записывается полный набор из полученных итоговых чисел и подсчитывается число отдельных цифр в полном наборе.
Пример. Допустим Вы родились 16 ноября 1989 г. Получаем:
1) 16 11 1989; 2) 1 + 6 + 1+ 1 + 1+ 9 + 8 + 9 = 36; 3)3 + 6 = 9; 4) 36 - 2 • 1 = 34;
5)3 + 4 = 7.
Полный набор итоговых чисел: 16111989 36 9 34 7. Число отдельных цифр в наборе: «1» — 4, «2» — 0, «3» — 2, «4» — 1, «5» — 0, «6» — 2, «7» — 1, «8» — 1, «9» — 3.
Далее расшифровывается полученный результат.
Число цифр «1» (единиц) дает информацию о силе характера.
Число цифр «2» (двоек) — о силе биополя.
Число цифр «3» (троек) — о внутреннем складе человека.
Число цифр «4» (четверок) — о здоровье.
Число цифр «5» (пятерок) — об уровне интуиции.
Число цифр «6» (шестерок) — о степени «заземленности».
Число цифр «7» (семерок) — об уровне приближения к Богу.
Число цифр «8» (восьмерок) — об уровне чувства долга.
Число цифр «9» (девяток) — об интеллекте.
Суммарное количество цифр «1», «4», «7» характеризует жизненный стержень.
Суммарное количество цифр «2», «5», «8» — качество семьянина.
Суммарное количество цифр «3», «6», «9» — социальную устойчивость.
Суммарное количество цифр «1», «2», «3» — здравомыслие.
Суммарное количество цифр «4», «5», «6» — целеустремленность.
Суммарное количество цифр «7», «8», «9» — талантливость.
Суммарное количество цифр «3», «5», «7» — уровень любви к людям.
Суммарное количество цифр «1», «5», «9» — уровень божественной миссии.
Чем больше получится число цифр или суммарное количество цифр, тем ярче в человеке выражена соответствующая черта.
Дальнейшее развитие теории целых и рациональных чисел
Первое известное нам логически последовательное изложение теории целых чисел содержится в книгах VII, VIII и IX «Начал» Евклида, где были подведены итоги развития математики на тот период. В книге VII излагается теория пропорций, совершенно отличная от построенной в книге V. В книге VII определяется равенство отношений целых чисел, или, с точки зрения современных математиков, строится теория рациональных чисел. Эта теория, как показал нидерландский математик Ван-дер-Варден, разработана ранними пифагорейцами (первая половина V в. до н. э.), тогда как теория пропорций, изложенная в книге V, была создана Евдемом из Кинда (середина IV в. до н. э.).
При аксиоматическом построении математики вначале вводятся неопределимые понятия, которые являются простейшими и не могут быть определены через другие понятия. В геометрии и теории чисел избегают неопределимых понятий, пытаясь всем понятиям дать определения. Несмотря на это, древние греки считали, что теория целых чисел обоснована весьма удовлетворительно. Рассматривали они и отношения целых чисел (у последующих поколений математиков такие отношения получили название дробей).
В дошедших до нас рукописях Диофанта можно найти действия со степенями, показатели которых не превосходят шести, и некоторые приемы операций с вычитаемыми. В неявной форме это операции с отрицательными числами. Сформулированные Диофантом правила применялись им только к рациональным числам.
Развитие арифметики в Европе связано с распространением индийской десятичной позиционной системы и арабских цифр.
Употребление арабских цифр в Европе ввел в Хв. н.э. монах - бенедектинец Герберт из Орийака, который был сначала воспитателем, затем советником императора Оттона III, а впоследствии — Папой Римским Сильвестром II (с 999 г. и. э.). Он путешествовал в Испании между 967 и 969 гг. и, посетив там арабские школы, познакомился с индо-арабской системой счисления. Во Франции в то время еще считали на пальцах или с помощью системы жетонов. Герберт построил счетную доску — абак. Метод абацистов, пропагандистом которого был Герберт, давал упрощения, аналогичные использованию позиционной системы, для сложения и вычитания, тогда как умножение и особенно деление оставались еще очень сложными. Абацистов сменили алгоритмики, которые использовали нуль и арабский метод деления и извлечения квадратного корня.
Усиление контактов между государствами, развитие торговли и банковской системы требовали простой в обращении и легкой в применении арифметики для обучения торговцев, банкиров, ремесленников и др. Появились первые учебники. Большое влияние оказал труд «Сумма» (1494) итальянского математика Луки Пачо- ли, настоящий свод математических знаний той эпохи. В нем была полностью воспроизведена «Книга абака» (1202) итальянского математика Леонардо Пизанского (Фибоначчи).
Первые шаги в направлении применения десятичных дробей были сделаны в XV в., но широкое распространение эти дроби получили только в XVI в. после выхода сочинений нидерландского математика и инженера Симона Стевина. В течение более 200 последующих лет десятичные дроби употреблялись лишь в астрономической вычислительной практике. Усилиями многих крупнейших французских математиков (Лагранж, Лаплас, Монж и другие) в период 1790—1799 гг. была разработана единая десятичная метрическая система. Она была введена во Франции 24 апреля 1799 г. С тех пор аппарат десятичных дробей нашел повсеместное применение. В XIX в. по мере перехода на десятичную систему новых государств этот аппарат сделался частью школьной математической подготовки.
В XV—XVI вв., да и позже, предлагались разные схемы для умножения и деления многозначных чисел, эти схемы различались, в сущности, только характером записи промежуточных вычислений. Общепринятый в настоящее время способ умножения ввел А. Ризе в XVI в.
Иррациональные числа
На иррациональные числа (так же, как и на всякие другие) можно смотреть, как на чистые знаки, которые могут быть и действительно бывают весьма полезны, между прочим, по той причине, что этими знаками удобно выражаются реальные свойства вещей.
С. О. Шатуновский
Пифагорейцы первыми обнаружили, что отношения некоторых отрезков (например, гипотенузы равнобедренного прямоугольного треугольника к катету) нельзя представить в виде отношения целых чисел. Это их удивило и озадачило. Такие отношения отрезков получили название несоизмеримых. Примером несоизмеримого отношения является иррациональное число л/2. Пифагорейцы доказали изобретенным ими методом от противного, что если доказать соизмеримость числа л/2, то придем к противоречию. Их доказательство было таким. Пусть л/2 = а/Ъ, где а и b — взаимно простые числа. Тогда а2 = 2Ь2, следовательно, а2 — четное число. Число а тоже четное, так как квадрат нечетного числа может быть только нечетным, а Ъ нечетно. Если а четное, то его можно представить в виде а = 2с, поэтому а2 = 4с2, т. е. 4с2 = 2Ь2 или Ь2 = 2с2, т. е. Ь2 четно и Ь четно. Следовательно, Ь является одновременно и четным, и нечетным числом, что невозможно. Этим доказано, что л/2 — иррациональное число.
Открытие иррациональных чисел привело к постановке проблемы, ставшей центральной для древнегреческой математики. Платон в своих «Законах» призывал к познанию несоизмеримых величин. Евдокс, ученик Платона, предложил понятие величины трактовать геометрически. При этом принципиальное различие между рациональными и иррациональными величинами сглаживалось.
Вместо применения формулы для решения квадратных уравнений решалась задача на построение отрезка, удовлетворяющего уравнению. Это направление в математике получило название геометрической алгебры. Превращение всей математики, за исключением теории целых чисел, в геометрию привело к нескольким важным последствиям. Несоизмеримые величины целиком принадлежали юрисдикции геометрии — арифметике (теории чисел) они были «не подсудны». Геометрия стала основой всей «строгой» математики. Мы до сих пор называем х2 «икс квадратом», х ’ «икс кубом», а не соответственно «во второй» и «в третьей» степени, потому что некогда под х2 и х3 понимался лишь геометрический смысл этих величин.
В греческой цивилизации на смену эпохе высокой классики (афинский период) в III в. до н. э. пришла эпоха эллинизма (александрийский период), сложившаяся в результате слияния классической греческой культуры с культурами Египта и Вавилона. Наиболее выдающиеся математики александрийского периода Архимед и Аполлоний следовали образцу аксиоматической, дедуктивной геометрии «Начал» Евклида. Но под влиянием прагматичных египтян и вавилонян александрийцы начали использовать математику и для удовлетворения запросов практики. Герон Александрийский в своем сочинении «Метрика» привел формулу для вычисления площади треугольника S = у/р(р — а)(р — Ь)(р — с), где а, Ъ, с — длины сторон треугольника, р — его полупериметр.
Вычисление площади треугольника по формуле Герона нередко приводит к иррациональным числам. Во многих чистых и прикладных науках, развитых греческими учеными александрийского периода, — составление календаря, измерение времени, навигационные расчеты, оптика, география и гидростатика — иррациональные числа находили самое широкое применение.
Индийцы и арабы, подхватившие эстафету развития математики после окончательного уничтожения арабами эллинистической (александрийской) греческой цивилизации, использовали целые числа и дроби, но, не колеблясь, оперировали и иррациональными числами. Они ввели новые, верные, правила сложения, вычитания, умножения и деления иррациональных чисел.
В конце Средневековья и в эпоху Возрождения европейцы ознакомились с существующим уровнем достижений математики. Частично это были уцелевшие рукописи на греческом языке, а в основном — работы греческих авторов на арабском языке и исследования арабских математиков. По мнению европейцев, настоящей математикой была только дедуктивная геометрия греков. Но в то же время они не могли и не хотели отрицать полезность и эффективность арифметики и алгебры, которые были значительно усовершенствованы по сравнению с Античностью.
Первая проблема, с которой столкнулись европейцы, сводилась к старому вопросу о том, как следует относиться к иррациональным числам. До XV—XVI вв. под иррациональными числами понимались только квадратные корни. Все же Леонардо Пизанский рассматривал вопрос о приближенном вычислении не только квадратных, но и кубических корней. Ферро и Тарталья при решении уравнения третьей степени стали употреблять кубические корни. Вплоть до XVIII в. при обосновании операций над иррациональными числами ограничивались величинами, выражаемыми в радикалах.
Операции с иррациональными числами не вызывали затруднений, но математиков беспокоила проблема, можно ли считать эти числа настоящими. Немецкого монаха и профессора математики Михаэля Штифеля беспокоило то, что для записи иррационального числа в десятичной системе требуется бесконечно много знаков. Он считал, что, подобно тому как не является числом бесконечность, иррациональные числа также не являются истинными числами, а как бы скрыты от нас в облике бесконечности. Далее Штифель добавлял, что настоящие числа — это либо целые числа, либо дроби, а поскольку иррациональные числа не принадлежат ни к тем, ни к другим, их нельзя считать настоящими числами.
Столетие спустя Паскаль и английский математик, филолог и богослов Исаак Барроу утверждали, что иррациональные числа не более чем символы, не существующие независимо от геометрических величин, и что логика арифметических операций, производимых над иррациональными числами, должна быть обоснована с помощью теории величин Евклида (иррациональные числа — отношение несоизмеримых отрезков).
Настоящими иррациональные числа признавали нидерландский математик Симон Стевин и английский математик Джон Валлис, но они не привели никаких логических аргументов в подтверждение своего мнения. Создатели аналитической геометрии
Декарт и Ферма не имели ясного представления об иррациональных числах, но неявно допускали их существование.
Иррациональные числа нашли широкое применение с появлением логарифмов — одного из новых достижений математики эпохи Возрождения. И хотя логарифмы большинства положительных чисел иррациональны (предложенный Непером метод вычисления логарифмов основан на свободном обращении с иррациональными числами), все математики приветствовали полезное изобретение, избавившее их от излишнего труда.
Отрицательные числа
Отрицательные величины алгебры реальны лишь постольку, поскольку они соотносятся с положительными величинами, реальны лишь в рамках своего отношения к последним; взятые вне этого отношения, сами по себе, они носят чисто воображаемый характер.
Ф. Энгельс
Первым ввел в обращение отрицательные числа индийский математик и астроном Брахмагупта. Используя отрицательные числа для обозначения денежных долгов, или пассива, индийцы преумножили и без того многочисленные логические трудности математиков (положительные числа при таком подходе должны означать наличность, или актив).
Индийский математик и астроном Бхаскара обратил внимание на то, что квадратный корень из положительного числа имеет два значения — положительное и отрицательное. Он также рассмотрел вопрос о квадратном корне из отрицательных чисел и пришел к выводу, что такой корень не существует, так как иначе его квадрат должен был бы быть отрицательным числом, а отрицательное число не может быть квадратом. Далеко не все индийцы восприняли нововведение Бхаскары. Тем не менее отрицательные числа, вскоре после того как они были введены, начали распространяться все шире.
В Европе отрицательные числа стали известны из арабских текстов. Большинство европейских математиков XVI—XVII вв. не считали отрицательные числа настоящими или утверждали, что отрицательные числа не могут быть корнями уравнений. Кардано включал отрицательные числа в число корней рассматриваемых им уравнений, но полагал, что отрицательные корни — это просто символы, не имеющие реального смысла. Отрицательные корни уравнений он называл фиктивными и противопоставлял их действительным, т. е. положительным, корням. Виет полностью отвергал отрицательные числа. Декарт принимал их лишь с определенными оговорками. Отрицательные корни уравнений он называл ложными на том основании, что они якобы представляют собой числа, которые меньше, чем ничто. Паскаль считал, например, вычитание числа 4 из числа 0 операцией, лишенной всякого смысла. В его «Мыслях» есть выразительное признание: «Я знаю людей, которые никак не могут понять, что если из нуля вычесть четыре, то получится нуль» [95, с. 34].
Интересный довод против отрицательных чисел выдвинул близкий друг Паскаля теолог и математик Антуан Арно. Он утверждал, что для двух неравных чисел отношение большего числа к меньшему всегда больше отношения меньшего числа к большему. Так как
г г -1 1
— 1 < 1, он считал равенство — = —- противоречащим здравому
смыслу. Лейбниц, признав правильность возражения Арно, указал, что такого рода пропорции вполне допустимо использовать в вычислениях, ибо по форме они правильны. Кроме того, Лейбниц предложил называть мнимыми (несуществующими) все величины, не имеющие логарифмов. По его мнению, число —1 не существует, так как положительные логарифмы соответствуют числам ббльшим J, а отрицательные логарифмы соответствуют числам, заключенным между 0 и 1. Следовательно, для отрицательных чисел логарифмов просто «не хватает» [95]. Действительно, если бы нашлось какое- нибудь число, соответствующее log(—1), то половина его, как следует из теории логарифмов, соответствовала бы log л/—1, а \/—1 заведомо не имеет логарифма.
В целом можно сказать, что немногие математики XVI—XVII вв. свободно обращались с отрицательными числами или легко воспринимали их введение. По поводу отрицательных чисел среди математиков бытовали самые нелепые предрассудки. Так, Валлис придерживавшийся прогрессивных для своего времени взглядов и не отвергавший отрицательных чисел, был убежден в том, что отрицательные числа больше, чем бесконечность, и в то же время меньше
нуля. В «Арифметике бесконечно малых» из неравенства----------------- <
п + 1
< — для натуральных чисел он заключил, что п
11111 ---<2<2<Y<0< ‘’ или •••<1<00<-1<---
Отрицательные числа беспокоили математиков гораздо сильнее, чем иррациональные. Возможно, это объяснялось тем, что отрицательные числа не имели столь очевидного геометрического смысла и правила операций над ними выглядели менее привычно. Хотя примерно с середины XVII в. отрицательные числа использовались весьма широко, они были лишены строгого определения и логического обоснования, и многие математики либо пытались каким-то образом восполнить этот пробел, либо оспаривали само применение отрицательных чисел. В статье «Отрицательное», написанной для знаменитой французской «Энциклопедии», один из величайших мыслителей «века разума» Даламбер утверждал: «Если задача приводит к отрицательному решению, то это означает, что какая-то часть исходных предположений ложна, хотя мы и считаем ее истинной. <... > Если получено отрицательное решение, то это означает, что искомым решением служит дополнение к [соответствующему положительному] числу» [44, с. 140].
На протяжении XVIII в. против отрицательных чисел выдвигалось немало возражений. Английский математик Фрэнсис Мазер в работе «Рассуждение о применении в алгебре знака минус» писал об отрицательных корнях: «... насколько я могу судить, они служат лишь для того, чтобы внести замешательство во всю теорию уравнений и сделать смутным и загадочным то, что по самой своей природе особенно ясно и просто...» [44, с. 141].
Практическое применение для обработки результатов научных исследований отрицательных и иррациональных чисел приводило к превосходному согласию с результатами наблюдений и экспериментов. Какие бы сомнения ни испытывали математики, применяя отрицательные числа в естественно-научных исследованиях, они отбрасывали все сомнения, как только окончательный результат оказывался физически правильным: ведь математики заботились главным образом о естественно-научных приложениях и все, что доказывало свою полезность на деле, принималось ими без особого разбора.
Комплексные числа
При рассмотрении квадратных уравнений математики разных эпох, начиная с индийских математиков, встречались с комплексными числами. Однако мнимые решения отбрасывались как несуществующие. В XVI в., так и не преодолев трудностей, связанных с иррациональными и отрицательными числами, европейцы еще более увеличили свое и без того тяжкое бремя, когда набрели на новое открытие, значение которого они осознали далеко не сразу, — комплексные числа.
Кардано в трактате «Великое искусство» (1545) поставил и решил следующую задачу: разделить число 10 на две части, произведение которых равно 40. Эта на первый взгляд нелепая задача допускает решение в виде сопряженных комплексных чисел 5 + \/—15 и 5 — л/—15. Относительно полученных значений Кардано заметил, что эти «сложнейшие величины бесполезны, хотя и весьма хитроумны». Еще раз он столкнулся с комплексными числами в связи с алгебраическим методом решения кубических уравнений. Хотя Кардано искал и отбирал только действительные корни, приведенная им в книге формула давала и комплексные корни (если уравнение их допускало).
Бомбелли также рассматривал комплексные числа как решения кубического уравнения и сформулировал (практически в современном виде) правила выполнения четырех арифметических операций над комплексными числами, однако считал их бесполезной и ненужной выдумкой. Декарт тоже был среди тех, кто отвергал комплексные корни. Именно он ввел в употребление термин «мнимое число».
Даже Ньютон не придавал особого значения комплексным корням, вероятнее всего потому, что в его время комплексные корни еще не имели физического смысла. Он считал, что задачи, которые не допускают решений, имеющих физический или геометрический смысл, должны иметь комплексные корни.
У Лейбница тоже не было ясности в вопросах, связанных с комплексными числами. Желая хоть как-то обосновать те применения, которые он сам и Иоганн Бернулли нашли комплексным числам в математическом анализе, Лейбниц высказал надежду, что вреда от этого не будет.
Несмотря на отсутствие ясного понимания природы комплексных чисел в XVI—XVII вв., алгоритмическая сторона вычислений, производимых с действительными и комплексными числами, усовершенствовалась и расширялась.
С 1712г. развернулась острая дискуссия о смысле комплексных чисел, и в частности о логарифмах отрицательных и комплексных чисел, в которой участвовали своими статьями и письмами Лейбниц, Иоганн Бернулли и Эйлер. Переписка между Лейбницем и Иоганном Бернулли о логарифмах отрицательных чисел была весьма обширной, но — увы! — большинство утверждений, на которых настаивали обе стороны, были неверными. Считая комплексные числа несуществующими, они с их помощью получали в анализе совершенно правильные формулы интегрирования: промежуточные выкладки, казалось бы, не имели смысла, но окончательный результат был верен.
В 40-х годах XVIII в. Даламбер и Эйлер доказали, что всякое выражение, содержащее мнимые величины, приводится к виду а + +/3г, где а и /3 — действительные числа.
Правильное решение проблемы логарифмов отрицательных чисел нашел великий Леонард Эйлер. Свой результат он изложил в работе «Исследования о мнимых корнях уравнений» (1751). Современники Эйлера не поняли и не оценили эту его замечательную работу. Еще до выхода книги Эйлер о своих результатах сообщил Да- ламберу в письме от 15 апреля 1747 г. Ни обширная переписка, ни работа Эйлера не убедили Даламбера, и в своей заметке «О логарифмах отрицательных величин» он выдвинул всевозможные метафизические, аналитические и геометрические аргументы против существования таких логарифмов.
Производя операции над комплексными числами, Эйлер порой и ошибался. Так, в его «Алгебре» фигурирует равенство у/—1 \/—4 " = у/4 = 2, выписанное по аналогии с тождеством у/а y/b = y/ab, справедливым для положительных а и Ъ, т. е. для действительных корней.
Все участники острой полемики, развернувшейся вокруг проблемы расширения понятия числа, мыслили непоследовательно. Было принято считать, что некоторые операции над комплексными числами, например операция возведения комплексного числа в комплексную степень, могут привести к числам совершенно новой природы. Даламбер установил, что все операции, производимые над комплексными числами, порождают только комплексные числа. Однако, сознавая непоследовательность и даже противоречивость собственных представлений о комплексных числах, Даламбер даже не упомянул о них в «Энциклопедии», которую он вместе с Дидро редактировал и для которой им написано много математических статей.
Несмотря на множество принципиальных возражений против комплексных чисел, на протяжении XVIII в. их широко использовали, свободно применяя к ним правила арифметических действий над действительными числами. Так математики получали практические навыки в обращении с комплексными числами. В тех случаях, когда комплексные числа применялись лишь на промежуточных стадиях математических доказательств, полученные с их помощью окончательные результаты всегда оказывались верными, что не могло не произвести благоприятного впечатления. Тем не менее математиков не оставляли сомнения в правильности такого рода доказательств, а иногда даже и получаемых с их помощью результатов.
Коши, возглавлявший французскую математическую школу первой половины XIX в., усиленно занимался установлением статуса комплексных чисел, начиная со своего «Курса анализа» (1821). Он считал, что теория комплексных чисел покоится на «принципах, которым недостает ясности». Для него комплексное число есть некое «символическое выражение», само по себе не имеющее смысла, но подчиненное некоторым «фиксированным правилам» по неким «установленным соглашениям». Он стал явным сторонником геометрического представления комплексных чисел лишь в 1847 г., познакомившись с принципами векторного исчисления.
Первым математиком, имевшим совершенно четкое представление о статусе комплексных чисел, был Гаусс. Идея их геометрического представления появилась у него в 1799 г., когда в своей диссертации он изложил очень красивое чисто топологическое рассуждение, примененное в доказательстве основной теоремы алгебры. В своем знаменитом письме Бесселю, датированном 1811 г., Г аусс со всей определенностью писал о соответствии между точками плоскости и комплексными числами.
Изучение переписки Гаусса и его заметок, опубликованных лишь после его смерти, приводит к выводу, что он хорошо понимал ценность геометрического представления с педагогической точки зрения и что его можно причислить к сторонникам определенного геометрического реализма. Гаусс, бесспорно, первым предвидел ту роль, которую должно было сыграть в дальнейшем геометрическое представление комплексных чисел как методическое средство в области анализа, и предугадал, какую пользу сумеют извлечь из него математики XIX в.
В 20-х годах XIX в. Гаусс и Коши ввели и обосновали операции над числами вида а ± вг, предложили термин «комплексное число», нашли «модуль» (Коши, 1821), или «норму» (Гаусс, 1828), комплексного числа, определили понятие сопряженности комплексных чисел. Положение комплексных чисел в математике существенно упрочилось, и они вошли в алгебру. Однако математикам пришлось смириться с тем, что не все свойства действительных чисел справедливы для комплексных. Так, нельзя сказать, какое из двух комплексных чисел больше, а какое меньше. Общепринятая трактовка понятия бесконечно удаленной точки также весьма своеобразна.
Г аусс никогда не спешил опубликовать полученные им результаты, особенно тогда, когда предчувствовал возможность развития теории, которой еще недостаточно овладел. Он излагает свои идеи, касающиеся геометрического представления комплексных чисел, лишь начиная с 1830 г. и особенно ясно говорит о них в работе «Теория биквадратных вычетов» (1831).
К концу 40-х годов XIX в. геометрическое представление было принято повсеместно и привело к бурному развитию теории функций комплексного переменного, комплексного интегрирования и т. д., которое увенчалось гениальным обобщением Римана, заставившего комплексное переменное принимать значения не на одной плоскости, а на поверхности, состоящей из налагающихся друг на друга листов.
Векторы
Для описания физической реальности математикам стало недоставать рассмотренных типов чисел. Чтобы иметь возможность для некоторых величин указывать не только их числовое значение, но и направление, было введено понятие вектора как направленного отрезка. Следовательно, вектор — абстракция математических объектов, характеризующихся модулем и направлением. Примерами физических векторных величин являются перемещение, скорость, ускорение, напряженность электрического или магнитного поля. Любой отрезок однозначно определяется его концами, поэтому одно из двух возможных направлений для данного отрезка можно задать, указав, от какого конца отрезка надо начать движение в заданном направлении, чтобы, двигаясь по отрезку, попасть в другой его конец. Это позволяет определить геометрический вектор как упорядоченную пару точек.
Сам термин «вектор» (от лат. vector — несущий) впервые появился у Гамильтона в 1845 г. в работах по построению числовых систем, обобщающих комплексные числа. Гамильтону принадлежат также термины «скаляр», «скалярное произведение», «векторное произведение».
После введения понятия вектора были более детально разработаны правила операций над векторами, что привело к появлению сначала векторной алгебры, а затем и векторного анализа. Векторная алгебра изучает простейшие операции над векторами. Она стала своеобразным языком аналитической геометрии. Векторный анализ изучает векторные и скалярные поля. Основными понятиями векторного анализа являются «градиент», «дивергенция», «ротор» («вихрь»)и «лапласиан».
Многие результаты векторного исчисления получены Грассма- ном и английским математиком Уильямом Клиффордом. Окончательный вид векторная алгебра и векторный анализ приобрели в трудах американского физика и математика Джозайи Уилларда Гиббса, который в 1901 г. опубликовал обширный учебник по векторному анализу.
Следует отметить, что в ясно очерченном виде векторная алгебра появилась примерно на 30 лет позже первых работ по теории кватернионов, о которых речь пойдет ниже [41 ]. Гиббс показал связь векторной алгебры с теорией кватернионов и алгеброй Грассмана и был большим энтузиастом распространения векторного исчисления в различных областях точных наук.
Введение новых понятий заставило математиков отказаться от некоторых свойств, справедливых для понятий, рассматриваемых ранее. При введении операции векторного произведения пришлось отказаться от коммутативности произведения. Понятие вектора может быть введено аксиоматически, тогда вектор будет пониматься как элемент векторного пространства. Развитием понятия «вектор» можно считать понятия «кватернион», «матрица» и «тензор».
Кватернионы
Для представления пространственных векторов и выполнения операций над ними было бы естественно ввести «трехмерные числа», если считать обычные действительные числа «одномерными», а комплексные числа — «двумерными».
Как и в случае комплексных чисел, допустимые операции над трехмерными числами должны были бы включать сложение, вычитание, умножение и деление. Чтобы над этими числами можно было беспрепятственно и эффективно производить алгебраические операции, они должны обладать обычными свойствами действительных и комплексных чисел. Многие математики принялись за поиски «трехмерных комплексных чисел». Впечатляющие результаты были получены Гамильтоном. С 1833 г. он все более и более углубляется в рассмотрение сущности алгебраической алгорифми- ки и пытается создать для пространства такие же числа, какими для плоскости являются комплексные числа.
Известно, что открытия часто приходят к математикам внезапно. Так случилось и с Гамильтоном. В течение 15 лет он пытался разработать «трехмерные комплексные числа», а 16 октября 1843 г. на пути домой, переходя Королевский мост, он изобрел кватернионы. Гамильтон внезапно понял, что в арифметической системе не обязательно должен выполняться коммутативный закон и что числа должны быть не трехкомпонентные, а четырехкомпонентные. Рассказывают, что эта мысль настолько поразила Гамильтона, что он остановился на мосту как вкопанный и нацарапал основные формулы алгебры кватернионов на каменных перилах. «Высеченные в камне», эти формулы и поныне украшают исторический мост [22, с. 8].
Кватернионы — это числа, каждое из которых определяет величину и направление в пространстве. Они могут быть представлены в виде а + bi + cj + dk, где г2 = j2 = к2 = — 1. Чтобы произведение кватернионов было кватернионом и чтобы кватернион сохранил как можно больше свойств действительных и комплексных чисел, Гамильтон вынужден был ввести такие правила умножения: jk = г, kj = —г, Ы = j, гк = —j, ij = к, ji = —к. Кватернион можно считать точкой или радиус-вектором четырехмерного пространства.
С момента открытия кватернионов до конца своих дней Гамильтон занимался их исследованием и пытался внедрить их в различные разделы математики и физики. Он считал, что к каждой точке пространства приложен кватернион, т. е. скаляр и вектор, и это позволяет одновременно рассматривать пространство и время. В высших учебных заведениях Ирландии по кватернионам был установлен специальный экзамен, и без их знания немыслимо было окончание колледжа. Такое насильственное внедрение кватернионов вызвало противодействие со стороны многих математиков, продолжавшееся до тех пор, пока кватернионы не нашли применения в физике, в первую очередь в динамике.
Надо сказать, что построение теории функций кватернионов в будущем может привести к открытиям общематематического значения. Сейчас кватернионы успешно применяются в теории относительности.
Гиперкомплексные числа
С введеним кватернионов задачи пространственной геометрии стали решаться так же легко, как с помощью комплексных чисел решаются задачи на плоскости. Влияние идей Гамильтона было весьма значительным: они подготовили почву для целой серии работ
об ассоциативных алгебрах, завершившихся доказательством ряда важных теорем о строении таких алгебр.
Кватернионы являются частным случаем гиперкомплексных чисел. Важными для практического применения являются те ги- перкомплексные числа, для которых определена операция деления: действительные и комплексные числа, кватернионы и октавы. Эти математические объекты связаны последовательно проводимыми операциями удвоения. Комплексные числа получаются процедурой удвоения действительных чисел. Кватернионы получаются удвоением комплексных чисел. Октавы получаются путем удвоения кватернионов. Алгебру октав разрабатывал В.Я. Фридман [103], а в настоящее время интересные результаты в алгебре октав получены доцентом МГТУ им. Н. Э. Баумана Сергеем Владимировичем Галкиным [21].
Во второй половине XIX в. обычные комплексные числа широко применяли в теории функций и даже в теории чисел. В то же время разработка проблем n-мерной геометрии и методов математической физики потребовала дальнейшего обобщения понятия числа, перехода к комплексным числам с п мнимыми единицами. Комплексными и гиперкомплексными числами стали представлять исследуемые реальные величины — векторы в пространстве Rn\ ответ на задачу, выраженный комплексным или гиперкомплексным числом, имел в этой области объективный смысл. Объявлять комплексные (и ги- перкомплексные) числа ложными, воображаемыми, как это делали математики XVII—XVIII вв., стало невозможным.
Арифметика комплексных чисел показала, что переход к новой, более широкой области чисел, во-первых, требует обобщения определения операций, выполняемых в исходной области чисел, и, во-вторых, сопровождается потерей некоторых свойств, присущих исходной области чисел. При переходе от действительных чисел к комплексным пришлось отказаться от связывания их знаками < (меньше), > (больше). В арифметике кватернионов дополнительно пришлось отказаться от закона коммутативности умножения. Законы счета, которые в понимании математиков XVII—XVIII вв. составляли основу неизменной сущности понятия числа, оказались законами с ограниченной областью действия. Чисто формальное подведение новых видов чисел под все законы известных чисел было окончательно дискредитировано.
С учетом общих тенденций развития способов обоснования математики стало ясно, что для обоснования арифметики какого угодно вида чисел, объективность которых уже доказана, достаточно перечислить основные понятия, определения и посылки, выяснить, какие законы счета выполняются в обосновываемой области чисел, а все остальные утверждения несложно получить методом дедукции. На этом пути удалось обосновать арифметику целых, рациональных, комплексных, гиперкомплексных чисел.
Матрицы
Если рассматривать вектор как элемент векторного пространства, то развитием понятия «вектор» является математическое понятие «матрица».
Матрица — это прямоугольная таблица вида
/ ап | «12 | 0-1 п ^ |
• &2п | ||
\ат1 | 0-т2 | (Ьтп / |
состоящая из т строк и п столбцов, элементы a,:j которой принадлежат некоторому множеству К. В наиболее важных случаях в качестве К выступают поле действительных чисел, поле комплексных чисел и т. д.
По своей природе эта таблица является символом, используемым при записи системы линейных уравнений
&11%1 + а12%2 + ' ' ' + Ч\пХп = bi, а21Х1 + 0.22X2 Н Ь а2пхп = Ь2,
(ац | 012 • | Ol п ^ |
| { Х1_\ |
| (ЬЛ |
0-21 | 022 • | 02 п | , Х = | Х2 | , ъ = | ь2 |
\Oml | От2 | Отп/ |
| \хп) |
| \Ът) |
От 1^1 + dm2X2 Н- ' ' ' ОтпХп — Ьш |
Линейные уравнения описывают процессы, приводящие к задачам, в которых рассматриваются малые величины. Такие задачи возникают при описании геометрических деформаций тел, в теории электричества и магнетизма, в аэро- и гидродинамике.
Матрицы встречаются во многих разделах чистой математики. Используются матрицы в теории кривых и поверхностей второго порядка при записи квадратичных форм, в теории дифференциальных уравнений, в теории групп, в теории вероятностей и в других разделах математики. Матричному исчислению обязана своим развитием квантовая теория. В целом матричная алгебра — наиболее убедительный пример того, как одна и та же закономерность встречается при самых различных обстоятельствах.
Понятие «матрица» впервые появилось в середине XIX в. в работах Гамильтона и Кэли (см. гл. 15). Фундаментальные результаты в теории матриц принадлежат Вейерштрассу, французскому математику Камилю Жордану, немецкому математику Георгу Фробе- ниусу.
Тензоры
В течение XIX в. в разных областях математики стали использовать системы с индексами. Это квадратичные формы в алгебре, квадратичные дифференциальные формы в геометрии. В конце XIX в. удалось понять внутреннее единство формул, содержащих системы с индексами, и найти новый математический аппарат, сделавший операции с ними компактными и удобными.
Создать математический аппарат, распространивший векторное исчисление на системы с произвольным числом индексов, удалось итальянскому математику Дж. Риччи. Он получил основополагающие результаты в дифференциальной геометрии n-мерных пространств. Исчисление, созданное Риччи, оказало настолько сильное влияние на геометрию и физику, что некоторое время даже называлось исчислением Риччи. В теории упругости и кристаллофизике его применял немецкий ученый Фойгт, который и ввел в обращение термин «тензор» (от лат. tensus — напряженный) для описания механических напряжений. Термин был принят не только в теории упругости, но и в геометрии и физике.
Тензоры являются обобщением векторов и матриц, так как векторы можно рассматривать как частный случай тензора, а матрицы
— как представление тензоров второго ранга. Для сложных тензоров третьего ранга и более компоненты могут располагаться в виде многомерной таблицы чисел, своеобразной многомерной матрицы.
Тензорное исчисление — раздел математики, изучающий тензоры и тензорные поля, — разделяется на тензорную алгебру и тензорный анализ. Оно было создано для изучения свойств анизотропных сред и постепенно проникло во все области физики. С середины XIX в. тензоры используют в механике при описании упругих деформаций (тензор напряжений, тензор деформаций). С начала XX в. аппарат тензорного исчисления систематически применяют в релятивистской физике. Эйнштейн для математического аппарата теории относительности выбрал тензорное исчисление как наиболее подходящее. Он не только полностью овладел этим математическим аппаратом, но и ввел некоторые упрощения в записи тензорных преобразований. Тензорное исчисление в XX в. развивали итальянский математик Леви-Чивита, голландский математик Скоутен, немецкие математики Г. Вейль, Веблен и другие.
Изучение пьезоэлектрических свойств кварца требует использования громоздкого математического аппарата. Методы тензорной алгебры значительно упрощают исследования. Вообще тензорное исчисление позволяет упростить изучение кристаллических сред, в большинстве случаев анизотропных (например, при исследовании диэлектрических свойств кристалла используется тензор диэлектрической проницаемости).
С середины XX в. активно разрабатывается теория нелинейных тензорных функций и функционалов, позволяющая описывать такие нелинейные свойства сред, как эффекты анизотропной пластичности, ползучести, нелинейной вязкости, нелинейной диффузии, нелинейные оптические свойства и др.
Метод применения тензорного исчисления к исследованию электрических цепей разработан американским математиком Габриэлем Кроном.
В современном тензорном исчислении используются три формы записи соотношений: компонентная, безындексная и матричная. Тензорное исчисление тесно связано с другими разделами ма
тематики: теорией инвариантов, теорией групп, теорией представлений [35].
Спиноры
Спиноры впервые были рассмотрены в 1913 г. французским математиком Эли Картаном в его исследованиях по теории представлений непрерывных групп.
Теорией групп в XIX в. занимались многие математики, в том числе и Дедекинд. Его интересовала проблема определителя группы. Когда он почувствовал, что не сможет решить эту проблему, он в марте 1896 г. обратился к Фробениусу, который был моложе его на 18 лет, с просьбой разобраться в этом вопросе. В ответном письме от 12 апреля 1896 г. Фробениус описал свои идеи. Этот день принято считать днем рождения теории представлений конечных групп. Развивая эту теорию, Картан и ввел в рассмотрение спиноры. Они были вновь открыты в 1929 г. Ван-дер-Варденом в исследованиях по квантовой механике. Им было обнаружено, что явление спина электрона и других элементарных частиц описывается физическими величинами, не принадлежащими к известным ранее типам величин (тензоры, псевдотензоры и т. д.). Например, они определяются лишь с точностью до знака, и при повороте на угол 2-7Г вокруг некоторой оси все компоненты этих величин меняют свой знак. Новые математические объекты и были названы спинорами.
Спинорное исчисление нашло широкое применение во многих разделах математики и позволило решить ряд трудных задач алгебраической и дифференциальной топологии.
Дата добавления: 2015-08-28; просмотров: 165 | Нарушение авторских прав
<== предыдущая лекция | | | следующая лекция ==> |
Учет расхода материальных ценностей | | |