Определение модуля Юнга по изгибу стержня

ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОДУЛЯ ЮНГА ПО ИЗГИБУ СТЕРЖНЯ

1.Цель работы

Изучение законов сохранения и законов упругой деформации (закон Гука) и определение модуля Юнга металлов.

2,Устройство и принцип работы установки

Рис.1.

Установка предназначена для определения модуля Юнга при упругой деформации симметричного изгиба металлических стержней (рис.1). Установка состоит из двух стальных призматических опор 2, на которые устанавливается исследуемый металлический стержень 1. К середине стержня подвешивается груз 3. Величина стрелы прогиба стержня измеряется микрометром 4.

3.Теория и вывод расчетных формул

Под действием приложенных сил тела изменяют свою форму и объем. Такие изменения называют деформацией, которую различают на упругую и пластическую.

Упругой называется деформация, исчезающая после прекращения действия внешних сил, при этом тело восстанавливает свою форму и размеры.

Пластической называется деформация, сохраняющаяся после снятия действие внешних сил.

По способу приложения к телам внешних сил различают следующие виды деформации: растяжение (сжатие), сдвиг, кручение, симметричный изгиб, консольный изгиб. К простым деформациям относятся растяжение (сжатие) и сдвиг. Остальные виды деформации – сложные, и их можно представить через простые.

На молекулярном уровне деформация обусловлена смещением узлов кристаллической решетки из положения равновесия. Смещение вызывает рост сил молекулярного взаимодействия: при удалении узлов друг относительно друга возрастает сила притяжения, при их сближении – отталкивание. Результирующую всех сил (притяжения, отталкивания или тех и других вместе при сложных деформациях) называют силой упругости. Эта внутренняя сила, возникающая как реакция в ответ на действие внешней приложенной силы. В рамках упругой деформации эти силы равны между собой:

F _внешн = F _упр

Физическая величина, численно равная упругой силе, действующей на единицу площади поперечного сечения, тела называется напряжением. В общем виде:

s = d F _упр/dS (1)

Составляющие напряжения.

Рис.2.

Напряжение является вектором (рис. 2) и его можно разложить на две составляющие:

s _n - нормальная составляющая напряжения, она совпадает по направлению с внешней нормалью n;

s _t - тангенциальная составляющая напряжения, она совпадает по направлению с касательной к площади поперечного сечения деформируемого тела;

S - произвольная поверхность;

dS - элемент поверхности.

В чистом виде нормальное напряжение присутствует при деформации растяжения (сжатия), а тангенциальное – при деформации сдвига. Во всех других случаях приходится иметь дело с полным напряжением s.

При деформации тело изменяет свои размеры. Мерой изменения размеров тела является относительная деформация. Для разных видов деформации она имеет свое обозначение. В частности, для деформации растяжения (сжатия) принят символ e, а для сдвига - g.

Относительная деформация равна отношению абсолютной деформации D Х к первоначальному значению величины Х, характеризующей форму и размеры тела:

e (или g) = D Х/Х (2)

Опыт показывает, что для малых упругих деформаций выполняется закон Гука: напряжение прямо пропорционально относительной деформации:

s = k e (3)

где k - коэффициент пропорциональности (модуль упругости), зависит от рода материала и его физического состояния. Его размерность – Па (Паскаль).

В зависимости от вида деформации коэффициент k имеет свое название и обозначение:

деформация растяжения (сжатия) - модуль Юнга, Е.

деформация сдвига - модуль сдвига G.

деформация кручения - модуль кручения k.

Различные виды деформации применяются на производстве для определения механических характеристик конструкционных, инструментальных и др. материалов. Одним из распространенных методов является испытание на растяжение с помощью специальных разрывных машин. Диаграмма такого испытания (рис. 3) представляет зависимость напряжения s от относительной деформации e. Из этой диаграммы можно получить сведения о механических свойствах материала. Ими являются:

s_пр – предел пропорциональности, определяющий область упругой деформации;

s_т – предел текучести, т.е. напряжение, при котором упругая деформация переходит в пластическую;

s_в – предел прочности, т.е. напряжение, при котором происходит разрушение материала.

ОА – область пропорциональности (s = Еe);

Диаграмма растяжения.

Рис.3.

В’В’’ - область текучести (s не зависит от e), на этом участке происходит упрочнение материала;

С – точка, соответствующая разрушению материала испытываемого образца;

ОД – остаточная деформация в образце после прекращения действия внешних сил в точке В^’.

Механика упругой деформации

В теории упругой деформации тела считают абсолютно упругими. Такая идеализация возможно в случае, когда напряжения не превосходят предела пропорциональности, а вызванные им деформации малы и подчиняются закону Гука:

F = - k Dх (4)

где k - коэффициент жесткости тела;

Dх - абсолютная деформация.

Коэффициент жесткости численно равен силе упругости, возникающей при абсолютной деформации единичной величины (Dх = 1). Коэффициент k зависит от материала тела, его геометрических размеров и вида деформации.

Рассмотрим деформацию симметричного изгиба однородного бруска произвольного сечения. Пусть до деформации брусок имел прямолинейную форму (рис. 4а). Проведя сечения АВ и А’В’, нормальные к горизонтальной оси симметрии бруска, мысленно вырежем из него элемент АА’В’В, бесконечно малой длины l₀.

Деформация изгиба и эпюры напряжений.

Рис.4.

Под действием внешней силы F произойдёт изгиб бруска (на рис. 4 для наглядности изгиб сильно преувеличен). Такая деформация количественно выражается стрелой прогиба h, которая по закону Гука (4) пропорциональна силе, вызывающей деформацию. Ввиду бесконечной малости выделенного элемента можно считать, что в результате изгиба прямая NN’ и все прямые, ей параллельные, перейдут в дуги окружностей. Их центры лежат на оси, перпендикулярной плоскости рисунка (рис.4б, точка O). Эта ось называется осью изгиба. Все линии, проведенные ниже линии NN’, при изгибе удлиняются, а линии, проведенные выше NN’, - укорачиваются. Длина линии NN’ остается неизменной. Эта линия называется нейтральной. Обозначим через R радиус кривизны нейтральной линии NN’. Тогда:

l₀ = R j (5)

где j - центральный угол, опирающийся на дугу NN’.

Рассмотрим линию СС’, находящуюся на расстоянии y от нейтральной линии NN’. Если брусок не слишком толст, так что y << R, то длина линии СС’:

l = (R + y) j (6)

а абсолютное удлинение её:

Dl = l – l₀ = (R + y) j - R j = y j (7)

Мерой деформации растяжения является относительное удлинение:

e = (l – l₀)/l₀

Относительное удлинение слоя CC’:

e = y j/R j = y/R (8)

По закону Гука (3) s ~ e. Следовательно,

s = e Е = y E/R (9)

где Е - модуль Юнга.

Модуль Юнга численно равен такому нормальному напряжению, при котором относительное удлинение было бы равно единице (т.е. Dl = l₀).

Максимальное напряжение в сечении бруска при изгибе s_m возникает в точках, наиболее удаленных от нейтральной линии (см. эпюры s в произвольном сечении, рис. 4б).

Для нахождения величины стрелы прогиба h воспользуемся тем, что при чистой деформации изгиба, вызванной внешней силой F, возникают внутренние силы упругости, создающие напряжение в сечении бруска и стремящиеся повернуть сечение. В состоянии равновесия в любом сечении момент внешних должен быть равен моменту упругих сил.

s

Для вычисления момента упругих сил, действующих в произвольном сечении бруска на расстоянии х от левой опоры, направим оси координат так, как показано на рис. 5. Ось х направлена вдоль нейтральной линии. Напряжение s, действующее на элемент площади dS (рис 5), создает вращающий момент dM_z относительно оси z:

К вычислению момента упругих сил.

Рис.5.

dM_z,упр = y s d S (10)

Момент упругих сил, действующих на всю площадь сечения S:

(11)

Где введено обозначение - момент инерции поперечного сечения бруска. Эта величина чисто геометрическая и имеет размерность –

[ J_z ] = м⁴ (12)

Если поперечное сечение бруска – прямоугольник с шириной «а» и толщиной «в», то решение интеграла (12) дает значение J_z:

(13)

Нейтральная линия NN’ для изогнутого бруска является окружностью и ее можно представить в виде функции y = f (x), для которой значению x = l/2 соответствует значение y = h, где l - длина бруска между опорами. Как известно, уравнение для ее определения (вывести самостоятельно) имеет вид

(14)

где, R - радиус кривизны линии NN’,

y’ и y’’ - первая и вторая производные функции y = f (x).

Если h мало, то y’ << 1 и ею можно пренебречь. Тогда выражение (14) примет вид 1/R» y’’, а момент упругой силы (11), действующей на всю площадь сечения:

M_z,упр = E J_z y’’ (15)

Теперь рассмотрим равновесие части бруска, относительно той же самой оси z, находящейся на расстоянии х от левой опоры

В центре масс бруска О (рис.6) приложена сила F, направленная вертикально вниз (силой тяжести пренебрегаем). Вследствие симметрии реакция в опорах R = F/2, поэтому 2 R + F = 0.

К вычислению момента внешних сил.

Рис.6.

Поместим начало координат системы отсчета в точку N нейтральной линии. Мысленно отсечем часть балки (на рис.6 заштрихована). Из условия равновесия отсеченной части следует, что сумма моментов всех действующих на нее сил относительно оси, параллельной оси z и проходящей через точку L (т.е. сумма моментов упругих сил и момента силы реакции опоры), должна быть равна нулю. Учитывая, что момент силы реакции опоры относительно этой оси равен

M_z,вн = x F/2 (16)

получим M_z,вн + M_z,упр = 0, или с учетом (15)-(16)

(17)

или

(18)

Интегрируя уравнение (18) при условии, что х = l/2 у’= 0 и при х = 0 у = 0, получим

(19)

Уравнение (19) описывает положение нейтральной линии NN’ бруска. При этом, при х=l /2 y = h и следовательно с учетом (13) получим

(20)

Из (20) получим формулу для расчета модуля Юнга Е:

(21)

где l - длина деформируемой части бруска (равна расстоянию между опорами),

а - ширина бруска,

b - толщина бруска,

h - стрела прогиба бруска,

F=mg - сила, прикладываемая к центру масс бруска.

4. Порядок выполнения работы.

Для выполнения работы необходим набор грузов, линейка и штангенциркуль.

1. Измерьте не менее 3 раз в трех различных точках параметры а, b и l металлического бруска вычислите средние значения и занесите результаты измерений в таблицу.

N	ai, мм	bI, мм	lI, мм
Среднее значение	<a> =	<b> =	<l> =

2. Произведите взвешивание грузов.

Систематическая погрешность весов – 0.01 г.

N груза
Масса, кг

3. Установите брусок на призмы опор, предварительно закрепив на нем держатель грузов.

Внимание! Все манипуляции с установкой и перемещением бруска проводить при поднятом датчике прогиба.

1. Опустите датчик прогиба до соприкосновения с поверхностью бруска с помощью ручек регулировки.

2. Установите шкалу измерительного прибора в положение «2000» и с помощью ручек регулировки положения установите нулевой отсчет показаний.

3. Последовательно подвешивая грузы М1, М2, М3, М4 измерьте стрелу прогиба бруска. Для устранения влияния внутренних напряжений, возникающих в бруске на стадии его изготовления, повторите измерения стрелы прогиба бруска с другой стороны 1^’, 2^’, 3^’, 4^’. Результаты измерений занесите в таблицы.

4. Рассчитайте модуль Юнга Е по формуле (21).

5. Произведите статистическую обработку полученных данных.

Величина		1^’		2^’		3^’		4^’	Результат
m (кг)
h (м)
E									<E>=
δE									ΣδEi =
(δE)^2									Σ(δEi)^2 =

Определите стандартное отклонение

определите погрешность:

И представьте результат в виде E = <E> ± ΔE

Дата добавления: 2015-08-28