ПОСТОЯННЫЙ электрический ТОК. 2 страница

.

По условию задачи Ф₂ =0.

Определим Ф₁:

.

Учтём, что

cosÐ(, ) = 1,

B = m₀mН.

Напряжённость магнитного поля на оси длинного соленоида

Н = n·I,

где: – число витков на единицу длины соленоида.

Таким образом,

,

.

Проверка размерности:

.

Подставляя числовые данные и учитывая, что для немагнитной среды m = 1, вычисляем

.

Полный заряд, протекший по витку за всё время изменения магнитного потока:

.

Согласно закону Ома

,

а так как

,

.

Тогда:

.

В данном случае , ,

.

Проверка размерности:

.

Подставим данные и произведем вычисления:

Ответ: q = 0,02 Кл.

Пример 13. В однородном магнитном поле (В = 0,1 Тл) равномерно с частотой n = 10 об/с вращается катушка, содержащая N = 1000 витков, плотно прилегающих друг к другу. Площадь катушки S = 150 см². Ось вращения перпендикулярна оси вращения катушки и направлению магнитного поля. Найти максимальную ЭДС индукции во вращающейся катушке.

Дано:

В = 0,1 Тл

n = 10 об/с

N = 1000

S = 150 см² =

=0,015

Е_max –?

Решение.

Мгновенное значение ЭДС индукции определяется основным законом электромагнитной индукции:

,

где: Y – потокосцепление, которое связано с магнитным потоком Ф и числом витков N соотношением Y = NF. Следовательно

.

При вращении рамки магнитный поток, пронизывающий рамку, изменяется со временем по закону

Ф = BS·cos(wt),

где: В – магнитная индукция, S - площадь рамки, w – угловая скорость вращения рамки, – угол между нормалью к поверхности рамки и вектором магнитной индукции.

Учтя сказанное, получим:

.

Угловая скорость w связана с частотой вращения n соотношением: w = 2pn. Таким образом,

ЭДС будет иметь максимальное значение при sin(wt) = l.

E_max = 2pn·NBS = 1000·0,1·0,015·2·3,14 = 94,2(В).

Проверка размерности: [Е]=Тл·м²·с^–1 = Вб/с = В.

Ответ: Е_max = 94,2 В.

Пример 14. Скорость горизонтально летящего самолёта v = 900 км/ч. Найти ЭДС индукции Е_i, возникающую на концах крыльев самолёта, если вертикальная составляющая индукции магнитного поля Земли равна 0,5· Тл, размах крыльев самолёта L = 12,5м.

Дано:

v = 900 км/ч =

= 250 м/с

В = 0,5·10^–4 Тл

L = 12,5 м

Е –?

Решение:

Крылья самолёта будем рассматривать как проводник. Поскольку проводник движется равномерно, то

,

где: DФ –поток магнитной индукции, пересекаемый проводником за время Dt.

Проводник длиной L, перемещаясь за время Dt на расстояние Dx, пересекает магнитный поток:

.

Подставляя это выражение в формулу закона электромагнитной индукции и учитывая, что , , получим

.

Ответ: Е = 0,15 В.

Пример 15. Соленоид с сердечником из немагнитного материала содержит N = 1200 витков провода, плотно прилегающих друг к другу. При силе тока I = 4 А магнитный поток Ф = 6 мкВб. Найти индуктивность соленоида и энергию его магнитного поля.

Дано:

N = 1200

I = 4 А

Ф = 6 мкВб =

= 6· Вб

L-?, W –?

Решение:

Индуктивность связана с потокосцеплением y и силой тока I соотношением y = LI. Потокосцепление может быть выражено через магнитный поток Ф и число витков N (при условии, что витки плотно прилегают друг к другу) соотношением y = NФ.

Следовательно, индуктивность соленоида:

.

Проверим размерность:

.

.

Энергия магнитного поля соленоида с индуктивностью L при токе I, протекающем по его обмотке, может быть вычислена по формуле:

.

Подставим в эту формулу полученное ранее выражение индуктивности:

.

Проверим размерность:

[W] = Вб·А = Дж.

Произведём вычисления:

W = 1/2·1,2· ·6· ·4 = 1,44· (Дж).

Ответ: L = 1,8 мГн, W = 14,4 мДж.

Пример 16. Полная энергия тела, совершающего гармоническое колебательное движение, равна 19,7мкДж, максимальная сила, действующая на тело, равна 0,8 мН. Написать уравнение движения тела, если период колебаний равен 2 с, а начальная фаза 60°.

Дано:

W = 19,7·10^–6 Дж

F_max = 0,8·10^–3 Н

Т = 2 с

j₀ = π/3

x(t) =?

Решение:

Уравнение гармонического колебания:

x = Acos(wt + a),

где A – амплитуда колебаний, j = wt + j₀ – фаза, j₀ – начальная фаза, w – циклическая частота.

Для определения амплитуды A учтем, что скорость v и ускорение колеблющегося тела равны:

,

.

Согласно второму закону Ньютона, сила, действующая на тело равна:

F = ma = ‑ mw²Acos(wt + j₀).

Учтем, что F = F_max, если cos(wt + j₀) = ±1, поэтому максимальное значение силы F_max = mw²A.

Полная энергия колеблющегося тела равна сумме кинетической и потенциальной энергий:

W = W_k + W_p =W_{k max} = W_{p max},

следовательно:

,

т.к. v_max = wA.

Учтя выражение для F_max, имеем:

,

откуда:

.

Циклическая частота:

.

Проверка размерности:

, .

Вычисляя, получим: A = 0,05 м, w = p рад/с.

Искомое уравнение гармонического колебания:

м.

Ответ: м.

Пример 17. Уравнение изменения силы тока в колебательном контуре со временем дается в виде i(t) = – 0,02·sin(400pt) A. Индуктивность контура 1 Гн. Найти: 1) период колебаний; 2) емкость контура; 3) максимальное напряжение на конденсаторе; 4) максимальную энергию магнитного поля катушки индуктивности; 5) максимальную энергию электрического поля конденсатора.

Дано:

i(t) = – 0,02·sin(400pt) A

L = 1 Гн

1) T =?, 2) C =?,

3) U_m =?,

4) W_Lmax =?, 5) W_Cmax =?

Решение:

Из уравнения колебаний силы тока:

i(t) = ‑ 0,02·sin(400pt)

следует, что максимальное (амплитудное) значение силы тока:

I_m = 0,02 A,

частота колебаний:

w = 400 p рад/с.

1) Период колебаний .

2) , следовательно .

Проверим размерность:

.

.

3) Напряжение на конденсаторе:

.

Пусть , тогда из определения силы тока следует:

,

т.е. амплитуды колебаний заряда и тока связаны соотношением:

I_m = wq_m или .

Уравнение колебаний напряжения:

,

где – максимальное напряжение на конденсаторе (амплитуда напряжения).

Размерность:

.

Вычисления:

.

4) Энергия магнитного поля , максимальная энергия магнитного поля .

.

5) Энергия электрического поля , максимальная энергия электрического поля .

.

.

Ответ: 1) Т = 5мс, 2) С = 0,63 мкФ, 3) U_m = 25,2 В,

4) W_{L max} = 0,2 мДж, 5) W_{C max} = 0,2 мДж.

Пример 18. Собственная частота колебаний контура n₀ = 8 кГц, добротность контура Q = 72. В контуре возбуждаются затухающие колебания. Найти закон убывания запасенной в контуре энергии W со временем, если в начальный момент времени энергия, запасенная в контуре равна 50 мкДж.

Дано:

n₀ = 8·10³ Гц

Q = 72

W₀ = 50·10^–6 Дж

W(t) =?

Решение:

Уравнение затухающих колебаний заряда на конденсаторе:

,

где – циклическая частота затухающих колебаний, w₀ – собственная циклическая частота контура, b – коэффициент затухания.

Получим уравнение затухающих колебаний силы тока. Для простоты положим начальную фазу равной нулю (j₀ = 0).

,

.

Пусть , , , тогда:

.

Уравнение затухающих колебаний силы тока:

.

Энергия, запасенная в конденсаторе:

.

Энергия, запасенная в катушке индуктивности:

,

где ,

т.к. собственная частота контура .

Полная энергия контура:

.

Уравнение изменения полной энергии контура:

.

Если коэффициент затухания мал по сравнению с собственной частотой контура , то запасенная в контуре энергия убывает во времени по закону (при выполнении контрольной работы эту формулу можно брать за исходную).

Найдем коэффициент затухания b, предполагая что w₀ >> b.

Добротность контура при малом затухании:

,

где d = bT ‑ логарифмический декремент затухания, T ‑ период затухающих колебаний.

,

где w₀ = 2pn₀ – связь циклической и линейной частот.

Добротность:

,

Коэффициент затухания:

.

Проверим выполняется ли условие w₀ >> b:

.

Условие w₀ >> b выполняется.

Подставим числа в выражение для энергии:

.

Ответ: .

Пример 19. Электрическая цепь состоит из активного сопротивления R, конденсатора емкостью C и катушки индуктивности L, соединенных последовательно с генератором переменного напряжения. ЭДС генератора изменяется по закону е = Е_m·cos(ωt). Найти зависимость от времени силы тока i(t), напряжения на активном сопротивлении u_R(t), напряжения на конденсаторе u_C(t) и напряжения на катушке u_L(t).

Дано:

R, C, L

е = Е_m·cos(ωt)

i(t), u_R(t), u_C(t), u_L(t) =?

Решение:

Пусть заряд конденсатора меняется по закону:

,

где q_m – амплитуда заряда, ω – частота ЭДС, φ – разность фаз между ЭДС и зарядом.

Сила тока:

,

где – амплитуда тока,

– разность фаз между ЭДС и током.

Напряжение на активном сопротивлении:

,

где – амплитуда напряжения на активном сопротивлении.

Колебания тока и напряжения на активном сопротивлении происходят в одинаковой фазе.

Напряжение на конденсаторе:

,

где –амплитуда напряжения на конденсаторе,

– емкостное сопротивление, .

Колебания напряжения на емкостном сопротивлении отстают по фазе на от колебаний тока.

Напряжение на катушке индуктивности:

,

где –амплитуда напряжения на катушке индуктивности,

Колебания напряжения на индуктивном сопротивлении опережают по фазе на колебания тока.

Построим векторную диаграмму и найдем амплитуду тока и разность фаз между током и ЭДС.

Амплитуда силы тока:

.

Разность фаз:

.

Ответ: ,

, где ,

, где ,

, где .

1.2. Сложение колебаний.

Рекомендуется изучить §§ 55-57 учебного пособия И.В. Савельева "Курс общей физики" т. 1. М. Наука, 1982 г.

При сложении двух одинаково направленных гармонических колебаний одинакового периода

,

получается гармоническое колебание того же периода

,

амплитуда А и начальная фаза j которого определяется уравнениями:

,

,

где А₁ и А₂ – амплитуды слагаемых колебаний,

j₁ и j₂ - начальные фазы слагаемых колебаний.

При сложении N (N > 2) одинаково направленных гармонических колебаний равных периодов, амплитуду и начальную фазу результирующего колебания можно находить применяя метод векторных диаграмм.

В результате задач такого типа необходимо получить вид функций, описывающих изменение смещения (для контура q, u), скорости (для контура i), ускорения.

В задачах на определение траектории точки, участвующей в двух взаимно перпендикулярных колебаниях, следует исключить время из уравнений складываемых колебаний и найти уравнение, которое описывает результирующее колебание.

Пример 20. Найти амплитуду и начальную фазу гармонического колебания, полученного при сложении двух гармонических колебаний одинакового направления и одинаковой частоты, уравнения которых м и м. Написать уравнение результирующего колебания.

Дано:

x(t) =?

Решение:

Согласно принципу суперпозиции:

x = x₁ +x₂.

Сложение колебаний произведем методом векторной диаграммы. Для этого, используя тригонометрическую формулу приведения

,

уравнения складываемых колебаний выразим через функцию косинуса и запишем их в канонической форме:

,

.

Построим векторную диаграмму (см. стр. 16) для t = 0. Учтем, что A₁ = 0,02 м, A₂ = 0,03 м, , .

Результирующее колебание имеет ту же частоту w = p и амплитуду , которая равна геометрической сумме амплитуд складываемых колебаний

= + .

Согласно теореме косинусов:

A= .

Начальная фаза результирующего колебания:

.

Представим числовые значения и произведем вычисления:

A = » 0,05 м,

.

Уравнение результирующего колебания:

x = 0,05cos(pt + 0,23p).

Ответ: x = 0,05cos(pt + 0,23p) м.

Пример 21. Точка участвует одновременно в двух гармонических колебаниях, происходящих во взаимно перпендикулярных направлениях и описываемых уравнениями x = cospt и y = cos . Определить уравнение траектории точки и построить ее на чертеже, показав направление движения точки.

Дано:

x = cospt

y = cos

y = f(x)

Решение:

По условию задачи:

x = ,

y = ,

т.е. A₁ = A₂ = 1, w₁ = 2w₂.

Для определения уравнения траектории точки необходимо найти связь между y и x, исключив время t. Применим формулу косинуса кратных углов:

cos2a = cos²a – sin²a = 1 – 2sin²a = 2cos²a – 1.

Используя это соотношение, можно написать:

cospt = .

Учитывая заданные уравнения, получим:

x = 2y² – 1.

.

Полученное уравнение представляет собой параболу, у которой ось лежит на оси 0x, ветви направлены в положительном направлении оси 0х.

Траектория результирующего колебания точки представляет собой часть параболы, заключенной внутри прямоугольника амплитуд со сторонами 2A₁, 2A₂.

Для построения траектории найдем значения y, соответствующие ряду значений x.

х	–1
у			±1

Определим направление движения.

В начальный момент при t = 0 имеем: x = 1, y = 1. Точка находится в положении а.

При t = 1 с получим x = – 1, y = 0. Материальная точка находится в вершине параболы b.

При t = 2 с получим x = 1, y = – 1. Материальная точка находится в положении c.

После этого она будет двигаться в обратном направлении.

Ответ: .

1.3. Волны в упругой среде.

Дата добавления: 2015-08-27