Решение типового варианта

Решение типового варианта

Задание №1

Найти сумму, разность, произведение и частное чисел = и =

Решение.

Если , , то: .

Для решаемой задачи z₁+ z₂ = (5+2)+ ()i = 7

z₁ - z₂ = (5 - 2) - ()i = 3 - i.

Практически комплексные числа, заданные в алгебраической форме, перемножаются как многочлены с учетом того, что .

.

z₁ z₂= () () = 10+5 i - 2 i – 3i² =13 + 3 i.

Практически деление комплексных чисел удобнее выполнять следующим образом

.

Домножим на комплексно – сопряженное выражение:

* = = = 1-

Ответ: z₁+ z₂=7, z₁ - z₂= 3 - i, z₁ z₂ =13 + 3 i, z₁ z₂= 1-

Задание №2 Задача № 1

На оси 0Z найти точки, расстояние которой до точки А(-3; 4; 5) равно 13.

Решение

Искомая точка М лежит на оси 0Z, значит, её абсцисса и ордината равны 0, а аппликата неизвестны, т.е. М(0;0;Z).

Воспользуемся формулой длины отрезка:

,

Ответ:

Задача №2

Записать уравнение окружности, проходящей через фокусы эллипса и имеющей центр в его верхней вершине.

Решение

Для эллипса верхняя вершина А (0;1), а=2, в=1. Поэтому с= =

Фокусы находятся в точках (- (-

Радиус R искомой окружности вычисляем по формуле расстояния между двумя точками:

R= = - =

Искомое уравнение имеет

) –центр окружности. Получаем (х-0

или Ответ:

Задание № 3

Проверить совместность систем уравнений и в случае совместности решить ее а) по формулам Крамера или с помощью обратной матрицы

Решение

Совместность данной системы проверим по теории Кронекера-Капелли. С помощью элементарных преобразований найдем ранг матрицы данной системы А:

А= и ранг расширенной матрицы В:

Для этого умножим первую строку матрицы В на -2 и сложим со второй, затем умножим с третьей, поменяем метами второй и третий столбец. Получим:

В: ~ ~

Следовательно, =3 (т.е. числу неизвестных)

Значит, исходная система совместна и имеет единственное решение.

а) по формулам Крамера , ,

= -16, = 64, = -16

=32,

Ответ: (-4, 1, -2)

С помощью обратной матрицы:

х= , т.к.

Находим алгебраические дополнения

=15, ,

= -3,

. Решение системы:

Х= = - * = =

Ответ: (-4, 1, -2)

б) методом Гаусса.

Исключим из второго и третьего уравнений. Для этого первое уравнение умножим на 2 и вычтем из второго, затем первое уравнение умножим на 3 и вычтем из третьего:

Из полученной системы находим

Ответ: (-4, 1, -2)

Задание №4

Найти указанные пределы, не пользуясь правилом Лопиталя а) б)

Решение

а) = = =0,7

Ответ: 0,7

б) =

Ответ:

Задание№5

Найти производные функции: а) y=x^5 + 3x^4- 5x^3+ x^2+1 б) у = Ln

Решение

а) y’= (x⁵ + 3x⁴- 5x³ + x²+1)’= 5x⁴ + 12x³ – 15x² + x

Ответ: 5x⁴ + 12x³ – 15x² + x

б) = *

= - Ответ: -

Задание №6

Исследовать функцию и построить график у = 5x^3– 3x^5

Решение

1).D(y) = (- ∞; +∞).

2). Функция нечетная.

3.)Нули функции: у=0 х³ (5 – 3х²) = 0,

х = 0, х = ±

4). Промежутки монотонности:

у ' = 15х² – 15 х⁴ ,

у ' = 0, 15х² (1 – х²) = 0

х = 0, х = ±1 – стационарные точки.

у '(х) - + + -

______________________________________________

у(х) -1 0 1 х

х_min =-1, x_max=1, x=0 –точка перегиба

у_min = у(- 1)= - 5 + 3 = - 2

y_max = y(1) = 5 – 3 =2

y(0) = 0

5). Построим по данным исследования график функции:

Задание№1

Контрольная работа № 1 Комплексные числа. Найти сумму, разность, произведение и частное чисел z1 и z2

1) z₁ = 0,2+0,3i z₂ = 1+i

2) z₁ = 0,5+0,4i z₂ = 7+ 8i

3) z₁ = 0,2+0,6i z₂ = 1,2 -5,6i

4) z₁ = 2,3 – 5,1i z₂ = 7- 8i

5) z₁ = 0,4+0,3i z₂ = 5+ 7i

6) z₁ = i – 2,5 z₂ = 1- 8i

7) z₁ = 2i – 3,5 z₂ = 3 - 4i

8) z₁ = 3i – 4,3 z₂ = 1- i

9) z₁ = 0,6+0,8i z₂ = -5+ i

10) z₁ = - 0,3+0,2i z₂ = 5+ 3i

11) z₁ = - 0,4+0,8i z₂ = 7+ 2i

12) z₁ = 2,6 – 5,8i z₂ = 2- 9i

13) z₁ = 1,2+0,5i z₂ = 2 - i

14) z₁ = 5i – 2,6 z₂ =7 - 6i

15) z₁ = 1,6+1,8i z₂ = -6+2 i

16) z₁ = - 0,5+0,4i z₂ = 7- 6i

17) z₁ = 4,4+ 6,5i z₂ = 6+ 9i

18) z₁ = 1,3 – 6,1i z₂ = 8- 6i

19) z₁ = - 5,3 – 3,1i z₂ = 2- i

20) z₁ = - 5,2 – 6,5i z₂ = 6+ i

Задание №2

Плоскость и прямая в пространстве

1. Составить уравнение плоскости, проходящей через две точки , и параллельно данному вектору,

2. Составить каноническое уравнение гиперболы, если а=13 (большая полуось), E=

3. Составить каноническое уравнение прямой, проходящей через т. параллельно прямой

4. Дан эллипс + Найти координаты фокусов эллипса и расстояния между его фокусами.

5. Дан треугольник с вершинами А (4; -5; 7), В (3; 2; -1), С (-6; 8; 10). Записать уравнения прямых, на которых лежат его стороны.

6. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку А (2; 3; -4) параллельно двум векторам и .

7. Дан треугольник с вершинами А (1; 2; -4), В (5; -6; 2), С (3; 8;; 10). Записать уравнения его медиан.

8. Составить уравнение гиперболы с фокусами на оси ОХ, если длина её действительной оси равна 14 и эксцентриситет е = .

9. Найти вершины, фокусы, асимптоты гиперболы

10. Составить уравнение плоскости, проходящей через точки М(1; 2; 3) и N(-3; 4; -5) параллельно оси OZ.

11. Найти угол между прямой = = и плоскостью 2х-4у+2z-9=0

12. Определить, при каком значении В плоскости х-4у+z-1=0 и 2х+Ву+10z-3=0 будут перпендикулярны.

13. Составить уравнения гиперболы, если координаты её фокусов асимптоты гиперболы заданы уравнениями у =

14. Составить уравнения плоскости, проходящей через начало координат перпендикулярно к плоскостям х+5у-z+7=0 и 3х-у+2z-3=0

15. Дана треугольная пирамида с вершинами

А(1; 1; 1), В (-11; 3; 3), С (5; 2; 4), Д (2; 2; -5). Вычислить длину высоты, проведенной из вершины Д к грани АВС.

16. Найти точку пересечения прямой и плоскости 2х+3у+z-1=0

17. На оси ОХ найти точку, отстоящую от плоскости 6х+2у+3z-12=0 на расстоянии d=6.

18. Составить уравнение прямой, проходящей через начало координат параллельно прямой

19. Среди данных плоскостей указать параллельные, совпадающие, перпендикулярные: 1)2х-3у+4z+5=0, 2)4x-6y+8z+3=0, 3)6x-9y+12z-15=0, 4)x+2y+z+6=0

20. Составить уравнение прямой, проходящей через точку М (2; -3; 4) перпендикулярно к прямым = и s New Roman"/><wx:font wx:val="Cambria Math"/><w:i/><w:sz w:val="28"/><w:sz-cs w:val="28"/></w:rPr><m:t>2</m:t></m:r></m:den></m:f></m:oMath></m:oMathPara></w:p><w:sectPr wsp:rsidR="00000000"><w:pgSz w:w="12240" w:h="15840"/><w:pgMar w:top="1134" w:right="850" w:bottom="1134" w:left="1701" w:header="720" w:footer="720" w:gutter="0"/><w:cols w:space="720"/></w:sectPr></wx:sect></w:body></w:wordDocument>"> = =

Задание №3

Линейная алгебра Проверить совместность системы уравнений и в случае совместности решить её.

а) по формулам Крамера или с помощью обратной матрицы.

1.	11.
2.	12.
3.	13.
4.	14..
5.	15.
6..	16.
7.	17.
8.	18.
9.	19.
10.	20..

б) методом Гаусса.

1.	1111.
2.	12.
3.	13.
4.	14.
5.	15.
6.	16.
7.	17.
8.	18.
9.	19.
10.	20.
Задание №4	Теория пределов Найти указанные пределы, не пользуясь правилом Лопиталя
1.	а)	б)
2.	а) ar w:top="1134" w:right="850" w:bottom="1134" w:left="1701" w:header="720" w:footer="720" w:gutter="0"/><w:cols w:space="720"/></w:sectPr></wx:sect></w:body></w:wordDocument>">	б)
3.	а) ar w:top="1134" w:right="850" w:bottom="1134" w:left="1701" w:header="720" w:footer="720" w:gutter="0"/><w:cols w:space="720"/></w:sectPr></wx:sect></w:body></w:wordDocument>">	б)
4.	а) ar w:top="1134" w:right="850" w:bottom="1134" w:left="1701" w:header="720" w:footer="720" w:gutter="0"/><w:cols w:space="720"/></w:sectPr></wx:sect></w:body></w:wordDocument>">	б)
5.	а) ar w:top="1134" w:right="850" w:bottom="1134" w:left="1701" w:header="720" w:footer="720" w:gutter="0"/><w:cols w:space="720"/></w:sectPr></wx:sect></w:body></w:wordDocument>">	б)
6.	а) ar w:top="1134" w:right="850" w:bottom="1134" w:left="1701" w:header="720" w:footer="720" w:gutter="0"/><w:cols w:space="720"/></w:sectPr></wx:sect></w:body></w:wordDocument>">	б)
7.	а)	б)
8.	а)	б)
9.	а)	б)
10.	а) ar w:top="1134" w:right="850" w:bottom="1134" w:left="1701" w:header="720" w:footer="720" w:gutter="0"/><w:cols w:space="720"/></w:sectPr></wx:sect></w:body></w:wordDocument>">	б)
11.	а) ar w:top="1134" w:right="850" w:bottom="1134" w:left="1701" w:header="720" w:footer="720" w:gutter="0"/><w:cols w:space="720"/></w:sectPr></wx:sect></w:body></w:wordDocument>">	б)
12.	а) ar w:top="1134" w:right="850" w:bottom="1134" w:left="1701" w:header="720" w:footer="720" w:gutter="0"/><w:cols w:space="720"/></w:sectPr></wx:sect></w:body></w:wordDocument>">	б)
	а) ar w:top="1134" w:right="850" w:bottom="1134" w:left="1701" w:header="720" w:footer="720" w:gutter="0"/><w:cols w:space="720"/></w:sectPr></wx:sect></w:body></w:wordDocument>">	б)
14.	а) ar w:top="1134" w:right="850" w:bottom="1134" w:left="1701" w:header="720" w:footer="720" w:gutter="0"/><w:cols w:space="720"/></w:sectPr></wx:sect></w:body></w:wordDocument>">	б)
15.	а)	б)
16.	а)	б)
17.	а) ar w:top="1134" w:right="850" w:bottom="1134" w:left="1701" w:header="720" w:footer="720" w:gutter="0"/><w:cols w:space="720"/></w:sectPr></wx:sect></w:body></w:wordDocument>">	б)
18.	а) ar w:top="1134" w:right="850" w:bottom="1134" w:left="1701" w:header="720" w:footer="720" w:gutter="0"/><w:cols w:space="720"/></w:sectPr></wx:sect></w:body></w:wordDocument>">	б)
19.	а)	б)
20.	а)	б)
Задания №5	Производная и её приложение. Найти производные функции:
1.	а) + 4 x^3- 5 x^6	11.	a) y = + + ln 6
2.	a) y = +	12.	a) y= -
3.	a) +	13.	a) + +tg
4.	a) - 8x^7 + 2x^4+	14.	a) y = 2x^5 + +
5.	a) y = + +	15.	a) y = 9 -
6.	a) + – ln 7	16.	a) y= +
7.	a) y= + +	17.	a) y= x^6+7x
8.	a) y = + 5+ ln7	18.	a)y = +
9.	a) y= + 8x^2	19.	a) y= tg + + 17x^8
10.	a) y = +12x^7+	20.	a) y = + +5x^3+ln2
1.	б) у =
2.	б) y = ln tg
3.	б) y = ln
4.	б) y = ln (3 )
5.	б) y = arcsin
6.	б) y = arctg
7.	б) y = arcsin
8.	б) y = ln
9.	б) y = arctg (x+1)+
10.	б) y = ln tg
11.	б) y = ln (1 - )+
12.	б) y = ln
13.	б) y = arcos (2
14.	б) y = arctg
15.	б) y = ln tg
16.	б) y =
17.	б) y =
18.	б) y = -
19.	б) y =
20.	б) y =
Задание №6	Приложение производной. Исследовать функцию и построить график

1. у =

2. у =

3. у =

4. у =

5. у =

6. у =

7. у =

8. у = – 4

9. у =

10. у =

11. у = 6

12. у =

13. у = 4 – 3

14. у =

15. у =

16. у = + 8

17. у = 5

18. у =

19. у =

20. у =

Дата добавления: 2015-08-28