Тест по линейным пространствам (7-е занятие)

ТЕСТ ПО ЛИНЕЙНЫМ ПРОСТРАНСТВАМ (7-е занятие)

Пусть – линейное пространство над полем . Заданы следующие утверждения:

а) ; б) ; в) ; г) ; д) ; е) ; ж) ; з) ; и) ; к) ; л) ; м) ; н) ; о) ; п) .

Из этих утверждений:

1. аксиомами линейного пространства являются:

2. следствиями из аксиом линейного пространства являются:

3. не имеют отношения к линейному пространству:

4. Следующие утверждения верны:

а) если система содержит , то она линейно зависима;

б) любая линейно зависимая система содержит ;

в) любая линейно зависимая система содержит линейно зависимую подсистему, не совпадающую с ней самой;

г) система, содержащая линейно зависимую подсистему, линейно зависима;

д) если система линейно зависима, то какой-либо из ее элементов можно представить в виде линейной комбинации остальных;

е) если система линейно зависима, то любой из ее элементов можно представить в виде линейной комбинации остальных;

ж) если какой-либо из элементов системы можно представить в виде линейной комбинации остальных, то эта система линейно зависима;

з) если любой из элементов системы можно представить в виде линейной комбинации остальных, то эта система линейно зависима;

и) если равенство выполняется при условии, что все , то система линейно зависима;

к) если равенство выполняется при условии, что все , то система линейно независима;

л) если равенство выполняется только в том случае, когда все , то система линейно зависима;

м) если равенство выполняется только при условии, что все , то система линейно независима;

н) если равенство выполняется и среди коэффициентов есть отличные от нуля, то система линейно зависима;

о) если равенство выполняется и среди коэффициентов есть отличные от нуля, то система линейно независима;

п) если система линейно независима, то найдутся такие отличные от нуля коэффициенты, что выполняется равенство ;

р) если система линейно зависима, то найдутся такие отличные от нуля коэффициенты, что выполняется равенство ;

с) если система линейно независима, то равенство выполняется в том случае, когда все коэффициенты равны нулю;

т) если система линейно независима, то равенство выполняется только в том случае, когда все коэффициенты равны нулю;

у) если система линейно зависима, то равенство выполняется в том случае, когда все коэффициенты равны нулю;

ф) если система линейно зависима, то равенство выполняется только в том случае, когда все коэффициенты равны нулю;

х) система, содержащая линейно независимую подсистему, линейно независима, ц) любая подсистема линейно независимой системы линейно независима.

5. Из следующих систем векторов линейно зависимыми являются:

а) ; б) ; в) ; г) ; д) ; е) .

6. Из следующих систем функций линейно зависимыми являются:

а) ; б) ; в) ; г) ; д) ; е) ж) ; з) ; и) ; к) .

7. В линейном пространстве задана система векторов (1). Следующие утверждения верны:

а) если система (1) является базисом, то ;

б) если система (1) является базисом, то она линейно независима;

в) если система (1) является базисом, то любой из векторов пространства можно представить в виде линейной комбинации векторов системы (1);

г) если , то система (1) является базисом;

д) если любой из векторов пространства можно представить в виде линейной комбинации векторов системы (1), то она является базисом;

е) если система (1) линейно независима, то она является базисом;

ж) если система (1) линейно независима и , то она является базисом.

8. Следующие утверждения верны:

а) в 5-ти мерном линейном пространстве существует линейно независимая система из 4-х векторов;

б) в 5-ти мерном линейном пространстве любая система из 4-х векторов линейно независима;

в) в 5-ти мерном линейном пространстве любая система из 4-х векторов линейно зависима;

г) в 5-ти мерном линейном пространстве существует линейно независимая система из 5-х векторов;

д) в 5-ти мерном линейном пространстве любая система из 5-х векторов линейно независима;

е) в 5-ти мерном линейном пространстве любая система из 5-х векторов линейно зависима;

ж) в 5-ти мерном линейном пространстве существует линейно независимая система из 6-х векторов;

з) в 5-ти мерном линейном пространстве любая система из 6-х векторов линейно независима;

и) в 5-ти мерном линейном пространстве любая система из 6-х векторов линейно зависима.

9. Следующие утверждения верны:

а) линейная оболочка произвольной системы векторов линейного пространства является его подпространством;

б) любое подпространство линейного пространства является линейной оболочкой некоторой системы векторов;

в) подпространство линейного пространства замкнуто относительно операций, заданных в ;

г) непустое подмножество линейного пространства , замкнутое относительно операций, заданных в , является его подпространством;

д) если – подпространство линейного пространства над , то ;

е) если – подпространство линейного пространства над , то ;

ж) если и , то – подпространство линейного пространства ;

з) если и , то – подпространство линейного пространства над ;

и) если , и , то – подпространство линейного пространства над .

10. Если векторы линейно независимы, то ранг матрицы, составленной из их координатных столбцов: а) равен количеству этих векторов; б) больше количества этих векторов; в) меньше количества этих векторов; г) другой ответ.

11. Если векторы линейно зависимы, то ранг матрицы, составленной из их координатных столбцов: а) равен количеству этих векторов; б) больше количества этих векторов; в) меньше количества этих векторов; г) другой ответ.

12. Если ранг матрицы, составленной из координатных столбцов векторов, равен их количеству, то эти векторы:

а) линейно зависимы; б) линейно независимы; в) такого не может быть.

13. Если ранг матрицы, составленной из координатных столбцов векторов, больше их количества, то эти векторы:

а) линейно зависимы; б) линейно независимы; в) такого не может быть.

14. Если ранг матрицы, составленной из координатных столбцов векторов, меньше их количества, то эти векторы:

а) линейно зависимы; б) линейно независимы; в) такого не может быть.

15. Матрицей перехода от базиса к базису : является следующая:

а) ; б) ; в) ; г) ; д) другой ответ.

Составила доцент Березкина Л.Л.

Дата добавления: 2015-08-27