Сильные фильтрационные и тепловые волны

Глава 6

Сильные фильтрационные и тепловые волны

В проведенных выше исследованиях параметры проводимости среды считались постоянными величинами — в результате уравнения, описывающие соответствующие физические процессы, оказывались линейными. Важной особенностью линейных дифференциальных уравнений второго порядка в частных производных параболического типа является то, что линии t = const (в том числе и t = 0) оказываются характеристиками таких уравнений. В силу этого возмущения (изменения состояния) в такой среде формально распространяются с бесконечной скоростью (этот вопрос специально обсуждался во второй главе).

Однако для целого ряда физических процессов (лучистой теплопроводности, фильтрации газов и некоторых других) коэффициенты проводимости оказываются непостоянными — они зависят от самой величины возмущения в данной точке (от значения функции u). Посмотрим, как данное обстоятельство повлияет на получаемое решение в целом и, в частности, на характер распространения “информационной” волны.

Прежде всего выясним, как будет выглядеть уравнение, описывающее процессы указанного типа. Например, для теплопередачи излучением теплоемкость в широком диапазоне температур можно считать постоянной (c = const), а вот коэффициент теплопроводности существенно - степенным образом - будет зависеть от температуры:

()

Поток тепла, определяемый законом Фика , будет при этом представлять собой выражение вида

которое при подстановке в уравнение переноса тепла

приводит к нелинейному уравнению

При n =1 это уравнение, очевидно, описывает фильтрацию газа, поскольку уравнение сохранения в случае фильтрационного течения имеет вид

где объемная скорость фильтрации (аналог потока тепла ) определяется законом Дарси:

а уравнение состояния газа (идеального) в предположении изотермичности процесса - законом Бойля-Мариотта:

В результате получаем уравнение фильтрации газа

Рассмотрим для определенности случай сферической симметрии, когда

Распространению в бесконечной среде возмущения от мгновенного точечного источника будет соответствовать следующая постановка математической задачи (6.1)

где представляет собой произвольный (в том числе и сколь угодно малый) ненулевой радиус.

Определяющими параметрами задачи являются величины r,t,Q=E/c, . Следовательно

(6.2)

а общее число определяющих параметров n' = 4. Эти параметры имеют следующие размерности:

[ ]= ;

откуда можно видеть, что число определяющих параметров, обладающих независимыми размерностями k=3.

Из П-теоремы следует, что, по скольку i=n'-k=1, зависимость (6.2) может быть представлена в виде функции одной переменной

П = Ф(П₁),

где ; . Для определения вида функции Ф представим искомую величину как

и подставим полученное выражение в уравнение в частных производных (6.1). В результате получим обыкновенное дифференциальное уравнение (6.3)

Из начального условия следует, что (6.4)

Из граничного условия следует, что

Полученные соотношения являются двумя дополнительными условиями для уравнения второго порядка (6.3).

Для отыскания решения данного уравнения поступим следующим образом. Вначале распишем производные через производные самой функции :

Далее, рассмотрим структуру уравнения (6.3) без учета конкретного вида коэффициентов (6.5):

Сопоставляя, например, первое, второе и третье слагаемые, либо четвертое и пятое, заключаем, что решение должно иметь степенной характер (чтобы

и так далее). Поэтому будем искать решение в виде Ф const - (знак «-» отражает убывание функции Ф с расстоянием , что соответствует физической природе явления - убыванию амплитуды возмущения с удалением от источника). Тогда

;

Достаточное условие разрешимости полученного уравнения – его однородность (степени во всех членах данного уравнения должны совпадать), откуда

= 2/n

При этом в принципе возможны два варианта представления функции Ф():

1) = K( o — )^2/n;

2) = K ( o² — ²)^1/n

где коэффициент K есть K(n), т.к. ряд членов уравнения имеют коэффициенты, зависящие от n.

В первом случае имеем

Тогда о.д.у. (6.5) будет иметь вид

или, после некоторых упрощений

Легко видеть, что данное представление функции не может удовлетворить о.д.у. (6.5) из-за “архитектуры” получаемых членов уравнения, так как встречаются члены и с положительными и с отрицательными степенями , которые в принципе, не сокращаются.

Использование второго представителя функции Ф приводит к уравнению

;

+

которое, в принципе, разрешимо относительно величины . (Подчеркнем еще раз, что речь идет о качественном анализе структуры о.д.у. - конкретный вид коэффициентов уравнения (6.3) не учитывается.) Следовательно, реализуется вторая форма записи

,

причем, поскольку

() > 0 при < ₀

Ф() = 0 при ₀ (так как Ф() = 0)

окончательный вид Ф есть (6.6)

при этом K(n) необходимо в дальнейшем определять непосредственной подстановкой (6.6) в (6.3), а из условия (6.4). Запишем последнее условие, используя в качестве величину ₀, которая является границей области ненулевых значений Ф, и вводя обозначение / ₀ = : (6.7)

Где – интеграл Эйлера I рода

Отсюда и определяется величина

Теперь перейдем к нахождению коэффициента K. Подстановка в исходное о.д.у. (6/3) функции, определяемой выражением (6.6):

;

Приводит к алгебраическому уравнению

Которое после преобразований приобретает вид

При

откуда

или

Таким образом, окончательный вид решения поставленной задачи (6.1) в размерных переменных (7.8)

где

где

есть значение величины в точке энерго- или массовыделения ,

Характерный вид полученного решения – «сильной тепловой волны» - представлен на рис.6.1

Рис. 6.1: Качественный портрет “сильной” тепловой волны

Причем важно иметь в виду, что данное решение (7.8) описывает некую промежуточную стадию развития процесса - когда фронт волны возмущения уже убежал достаточно далеко от источника, чтобы размеры и геометрические особенности последнего не могли оказывать на него какое-либо влияние, но еще не ощутил влияние границы области определения задачи. Другими словами, оно справедливо в диапазоне изменения координаты фронта

где - характерный размер источника, a - размер рассматриваемой области пространства.

С учетом взаимосвязи

получаем соответствующее ограничение для временного интервала справедливости полученного решения.

Проведенные рассуждения справедливы для распространения волны по «нулевому» фону (см. начальные условия). Для учета в задаче наличия начального ненулевого фона необходимо “отсечь” тот период, когда существенна, то есть сопоставима с характерным масштабом величины u:

откуда

а соответствующее ограничение на максимальную координату распространения фронта

=

Таким образом, в случае наличия ненулевого фона решение (6.8) будет справедливо при

Автомодельное решение представляет собой промежуточную асимптотику, если в задаче имеется два характерных масштаба X_i и Х₂, и данное автомодельное решение представляет собой асимптотическое представление решения при , но . Строго говоря, наличие двух размерных параметров и приводит к появлению еще двух безразмерных параметров

но при и зависимостью решения от этих параметров мы пренебрегаем. Вопросу о том, насколько это справедливо, будет посвящена глава 5.

Отметим в заключение, что тепловой волне излучения (возникающей, например, в результате ядерного или термоядерного взрыва в атмосфере) соответствует . В случае фильтрации газа =1. При этом

следовательно,

то есть профиль “сильной фильтрационной волны”, возникающей при течении газа в пористой среде, представляет собой параболу (рис. 7.2).

Проверим, будет ли в полученном решении иметь место предельный переход к линейному случаю при 0. При данном условии

откуда

Рис. 6.2: “Сильная фильтрационная волна” при течении газа в пористой среде

и, соответственно, так как

Это и означает, что предельный переход действительно существует: при , то есть для случая линейного уравнения теплопроводности (или фильтрации), волна возмущения сразу же убегает на бесконечное расстояние.

Дата добавления: 2015-08-28