2 свойства неопределенного интеграла

2 свойства неопределенного интеграла 1. Производная неопределенного интеграла равна подинтегральной функции: 2. Дифференциал неопределенного интеграла равен подинтегральному выражению: 3. Неопределенный интеграл от дифференциала некоторой функции равен сумме самой этой функции и произвольной постоянной: 4. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла: 5. Интеграл суммы (разности) равен сумме (разности) интегралов: 6. Свойство является комбинацией свойств 4 и 5: 7. Свойство инвариантности неопределенного интеграла: 8. Свойство: Фактически данное свойство представляет собой частный случай интегрирования при помощи метода замены переменной, который более подробно рассмотрен в следующем разделе. Методы интегрирования 1. Метод введения нового аргумента. Если то где — непрерывно дифференцируемая функция. 2. Метод разложения. Если то 3. Метод подстановки. Если — непрерывна, то, полагая где непрерывна вместе со своей производной , получим 4. Метод интегрирования по частям. Если и — некоторые дифференцируемые функции от , то Интегрирование рациональных дробей Основная статья: Разложение дробей при интегрировании Неопределенный интеграл от любой рациональной дроби на всяком промежутке, на котором знаменатель дроби не обращается в ноль, существует и выражается через элементарные функции, а именно он является алгебраической суммой суперпозиции рациональных дробей, арктангенсов и рациональных логарифмов. Сам метод заключается в разложении рациональной дроби на сумму простейших дробей. Всякую правильную рациональную дробь , знаменатель которой разложен на множители можно представить (и притом единственным образом) в виде следующей суммы простейших дробей: где — некоторые действительные коэффициенты, обычно вычисляемые с помощью метода неопределённых коэффициентов. 7)Универсальная тригонометрическая подстановка, в англоязычной литературе называемая в честь Карла Вейерштрасса подстановкой Вейерштрасса, применяется в интегрировании для нахождения называется интегрируемой на этом отрезке. 16) ГЕОМЕТРИЧЕСКИИ И ФИЗИЧЕСКИЙ СМЫСЛ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА Площадь криволинейной трапеции Пусть на отрезке [ а; b ] задана непрерывная функция у = f(x) ≥ 0. — Фигура, ограниченная сверху графиком функции у = f(x), снизу — осью Ох, сбоку — прямыми х = а и х = b, называется криволинейной трапецией. Найдем площадь этой трапеции. Для этого отрезок [ а; b ] точками а = х0, x1, …, b = хn (х0 < x1 <…. < хn) разобьем на п частичных отрезков (см. рис.). В каждом частичном отрезке (i = 1,2,…,п) возьмем произвольную точку сi, и вычислим значение функции в ней, т.е. f (сi). Умножим значением функции f (сi) на длину соответствующего частичного отрезка. Произведение равно площади прямоугольника с основанием , и высотой f (сi). Сумма всех таких произведений равна площади ступенчатой фигуры и приближенно равна площади S криволинейной трапеции: С уменьшением всех величин , точность приближения криволинейной трапеции ступенчатой фигурой и точность полученной формулы увеличиваются. Поэтому за точное значение площади S криволинейной трапеции принимается предел S, к которому стремится площадь ступенчатой фигуры Sn, когда п неограниченно возрастает так. что Итак, определенный интеграл от неотрицательной функции численно равен площади криволинейной трапеции. В этом состоит геометрический смысл определенного интеграла. Ра6ота переменной силы Пусть материальная точка М перемещается под действием силы , направленной вдоль оси Ох и имеющей переменную величину F = F(x), где х абсцисса движущейся точки М. Найдем работу А силы по перемещению точки М вдоль оси Ох из точки х = а в точку х = b (a < b). Для этого отрезок [ а; b ] точками а = xo, x1,…, b = xn (xo < x1 < ••• < xn) разобьем на n частичных отрезков . Сила, действующая на отрезке , меняется от точки к точке. Но если длина отрезка достаточно мала, то сила на этом отрезке изменяется незначительно. Ее можно приближенно считать постоянной и равной значению функции F = F(x) в произвольно выбранной точке . Поэтому работа, совершенная этой силой на отрезке , равна произведению (Как работа постоянной силы F (ci) на участке ) Приближенное значение работы А силы на всем отрезке [ a; b ] есть 17) Формула Ньютона — Лейбница или основная теорема анализа даёт соотношение между двумя операциями: взятием определённого интеграла и вычислением первообразной существует и конечен, то несобственный интеграл второго рода называется сходящимся, если же он не существуетили равен бесконечности, то несобственный интеграл второго рода называется расходящимся. Несобственный интеграл второго рода выражает площадь бесконечно высокой криволинейной трапеции 25)В предположение о непрерывности производной на , длина кривой выражается формулой: или компактнее: 28)) 29)) Суть метода прямоугольников заключается в том, что в качестве приближенного значения определенного интеграла берут интегральную сумму (далее мы покажем, какую именно интегральную сумму берут в методе прямоугольников). можно записать в виде 30)) В силу пятого свойства определенного интеграла . Если вместо интегралов подставить их приближенные значения, то получится формула метода трапеций: 31)) В силу пятого свойства определенного интеграла имеем . Для получения формулы метода парабол (Симпсона) нам осталось вычислить .

первообразных, определённых и неопределённых интегралов от рациональных функций от тригонометрических функций. Без потери общности можно считать в данном случае такие функции рациональными функциями от синуса и косинуса. Подстановка использует тангенс половинного угла. Рассмотрим задачу нахождения первообразной рациональной функции от синуса и косинуса. Заменим sin x, cos x и дифференциал dx рациональными функциями от переменной t, и их произведением дифференциал dt, следующим образом:^[1] для значений x, лежащих в интервале Введение обозначений Примем, что переменная t равна тангенсу половинного угла: В интервале − π < x < π, это даёт и после дифференцирования получаем Формула тангенса половинного угла даёт для синуса и для косинуса формула даёт 8) 11) 1. Интегралы вида Тригонометрическая подстановка: 2. Интегралы вида Тригонометрическая подстановка: Гиперболическая подстановка: вычислением первообразной Если непрерывна на отрезке и — её любая первообразная на этом отрезке, то имеет место равенство 18) Теорема 3. Пусть f (x) непрерывна на промежутке [ a, b ]. Если этот промежуток точкой c разложен на части [ a, c ] и [ c, b ], то интеграл по всему промежутку оказывается равным сумме интегралов по его частям, т. е. В самом деле, будем при раздроблении промежутка [ a, b ] на части включать c в число точек деления Пусть функция f (x) интегрируема на промежутке [ a, b ]. Тогда по определению полагаем (12) Таким образом, при перестановке пределов интегрирования определенный интеграл меняет знак. Теорема 5. Если f (x) - непрерывная функция, заданная на промежутке [ a, b ], то существует такая точка В самом деле, пусть M и m наибольшее и наименьшее значения f (x) на промежутке [ a, b ]. Составим для f (x) какую-нибудь интегральную сумму m (b - a) ≤ σ ≤ M (b - a). Теорема 9. Если a ≤ b, а f (x) и u · g (x) - две непрерывные функции, которые на [ a, b ] удовлетворяют условию f (x) ≤ g (x), то (15) т. е. при нормальном порядке пределов интегрирования неравенство можно интегрировать почленно. Теорема 10. Если a ≤ b и f (x) непрерывна на [ a, b ], то (16) т. е. при нормальном порядке пределов интегрирования абсолютная величина интеграла не превосходит интеграла от абсолютной величины подинтегральной функции. Теорема. Производная определенного интеграла от непрерывной функции, рассматриваемого как функция его верхнего предела, существует и равна значению подинтегральной функции в точке дифференцирования. В виде формулы высказанное утверждение выглядит так: 19) Замена переменной в определенном интеграле. Пусть функция y = f(x) определена и непрерывна на отрезке [a; b]. Множество [a; b] является областью значений некоторой функции x = g(z), которая определена на интервале и имеет на нем непрерывную производную, причем и , тогда . Этой формулой удобно пользоваться в тех случаях, когда нам требуется вычислить интеграл ,

3. Интегралы вида Тригонометрическая подстановка: В математическом анализе дифференциальным биномом или биномиальным дифференциалом называется дифференциал вида где a, b — действительные числа, a m, n, p - рациональные числа. План решения. Выражение называется дифференциальным биномом. Условия его интегрируемости в элементарных функциях получены П.Л. Чебышевым. Интеграл выражается через конечную комбинацию элементарных функций в следующих трех случаях: 1) – целое число; в этом случае данный интеграл вычисляется простым разложением; 2) – целое число; в этом случае подстановка , где – знаменатель дроби , приводит к интегралу от рациональной функции. 3) – целое число; в этом случае подстановка , где – знаменатель дроби , приводит к интегралу от рациональной функции. 15) Пусть функция у=ƒ(х) определена на отрезке [а; b], а < b. Выполним следующие действия. 1. С помощью точек х0=а, x1, х2,..., хn = В (х0 <x1 <...< хn) разобьем отрезок [а, b] на n частичных отрезков [х0;х1], [x1; х2],..., [хn-1,хn] (см. рис. 167). 2. В каждом частичном отрезке [xi-1;xi], i = 1,2,...,n выберем произвольную точку сi є [xi-1; xi] и вычислим значение функции в ней, т. е. величину ƒ(сi). 3. Умножим найденное значение функции ƒ (сi) на длину ∆xi=xi-xi-1 соответствующего частичного отрезка: ƒ (сi) • ∆хi. 4. Составим сумму Sn всех таких произведений: Сумма вида (35.1) называется интегральной суммой функции у = ƒ(х) на отрезке [а; b]. Обозначим через λ длину наибольшего частичного отрезка: λ = max ∆xi(i = 1,2,..., n). 5. Найдем предел интегральной суммы (35.1), когда n → ∞ так, что λ→0. Если при этом интегральная сумма Sn имеет предел I, который не зависит ни от способа разбиения отрезка [а; b] на частичные отрезки, ни от выбора точек в них, то число I называется определенным интегралом от функции у = ƒ(х) на отрезке [а; b] и обозначается Таким образом, Числа а и b называются соответственна нижним и верхним пределами интегрирования, ƒ(х) — подынтегральной функцией, ƒ(х) dx — подынтегральным выражением, х — переменной интегрирования, отрезок [а; b] — областью (отрезком) интегрирования. Функция у=ƒ(х), для которой на отрезке [а; b] существует определенный интеграл 20) Интегрирование по частям при вычислении определенного интеграла. Пусть на отрезке [a; b] определены и непрерывны функции u(x) и v(x) вместе со своими производными первого порядка и функция – интегрируема, тогда на этом отрезке интегрируема функция и справедливо равенство . Этой формулой удобно пользоваться в тех случаях, когда нам требуется вычислить интеграл , причем неопределенный интеграл мы бы искали интегрированием по частям. 22) Пусть определена и непрерывна на множестве от и . Тогда: 1. Если , то используется обозначение и интеграл называется несобственным интегралом Римана первого рода. В этом случае называется сходящимся. 2. Если не существует конечного ( или ), то интеграл называется расходящимся к , или просто расходящимся Несобственный интеграл первого рода выражает площадь бесконечно длинной криволинейной трапеции. 23) значение интеграла естественно принять предел , если этот предел существует. Пусть f(x) задана на полуинтервале [a,b) и Пусть далее для всякого существует интеграл Предел называется несобственным интегралом второго рода (интегралом от неограниченной функции) и обозначается Если

Дата добавления: 2015-08-28