Биссектриса угла треугольника, равного 100°, делит треугольник на два, один из которых равнобедренный. Найдите два оставшихся угла исходного треугольника.

Биссектриса угла треугольника, равного 100°, делит треугольник на два, один из которых равнобедренный. Найдите два оставшихся угла исходного треугольника.

Три ситуации на рисунке.

Первая ситуация не реализуется, во второй углы 15° и 65°, в третьей - 50° и 30°.

(Для выбора стороны основания – три возможности, в соответствии с этим получаем три варианта.)

Ш5.2.1. Точки А, В и С делят окружность на три дуги, градусные меры которых относятся как 2:3:7.Найдите углы треугольника АВС.

Дуги АВ, ВС и СА равны соответственно 2 х, 3 х, и 7 х, причём 2 х + 3 х + 7 х =180°, х =30°, искомые углы 30°, 45° и 105°.

Ш5.2.5(в). В окружность радиуса 1 вписан угол АВС, равный 30°. Чему равна хорда АС?

Угол опирается на дугу АС, равную 60°, а соответствующая хорда равна радиусу, АС = 1.

Ш5.2.8(п). Вершины четырёхугольника ABCD расположены на окружности. Докажите, что сумма противоположных углов этого четырёхугольника равна 180°.

Противоположные углы опираются на дуги, сумма длин которых равна длине всей окружности, т.е. 360°. Поэтому сумма противоположных вписанных углов равна 180°.

Р.12.97. На столе лежат четыре монеты разного достоинства, причём каждая из них касается ровно двух других. Докажите, что четыре точки касания лежат на одной окружности.

Построим четырёхугольник с вершинами в центрах монет и соединим последовательные точки касания. Найдём два противоположных углаполученного четырёхугольника. ÐА = α +δ, ÐС = β+γ. Сумма противоположных углов ÐА+ÐС = α +δ +β+γ. Учтём теперь, что сумма углов четырёхугольника равна 360°. (180°–2α) + (180°–2β) + (180°–2γ) + (180°–2δ) = 360°. После упрощений получим α +β+γ+δ = 180°. Значит сумма противоположных углов четырёхугольника АВСD равна 180° и потому все его вершины лежат на одной окружности.

Ш5.2.9. Найдите углы четырёхугольника ABCD,вершины которого расположены на окружности, если ÐABD = 74°, ÐDBC = 38°, ÐBDC = 65°.

Находим угол С. Он равен 180°–38°–65° =77°. Угол А лежит напротив угла С и равен 180°–77° =103°. Угол D лежит напротив угла В и равен 180°–74° =106°.

Ш5.2.16(т). В окружности с центром О проведён диаметр; А и В – точки окружности, расположенные по одну сторону от этого диаметра. На диаметре взята точка М такая, что АМ и ВМ образуют равные углы с диаметром. Докажите, что ÐАОВ =ÐАМВ.

Обозначим ÐАМО =ÐВМТ = α. Тогда ÐАМВ = 180°–2α. Продолжим отрезок АМ до пресечения с окружностью в точке В'. Тогда угол АВ'В вписан в окружность и равен 90°–α. Угол АОВ как и угол АВ'В опирается на дугу АВ и потому вдвое больше угла АВ'В, т.е. ÐАОВ =180°–2α = ÐАМВ, что и требовалось.

Точка М обладает тем свойством, что из всех точек диаметра РТ для неё сумма расстояний до точек А и В наименьшая. Это следует из того, что эта сумма равна длине отрезка АВ'.

Ш5.2.11(в). На плоскости даны две точки А и В. Только с помощью циркуля постройте две точки, расстояние между которыми равно 2∙АВ.

Радиусом АВ проведём окружности с центрами в точках А и В. Пусть Е – одна из их общих точек. Тогда треугольник АВЕ – равносторонний. Проведём теперь окружность того же радиуса с центром в точке Е и получим новый равносторонний треугольник ВЕР. Наконец, проводим окружность того же радиуса с центром в точке Р и получаем третий равносторонний треугольник ВРТ. Все построенные треугольники имеют общую вершину В и угол АВТ равен 3∙60° = 180°. Значит, точки А, В и Т лежат на одной прямой и АТ = 2∙АВ.

Дата добавления: 2015-08-27