Задача. Дана плоскость с нормальным вектором и точка , не принадлежащая плоскости.

Задача. Дана плоскость с нормальным вектором и точка , не принадлежащая плоскости.

Найти расстояние d от точки М ₀ до плоскости (α).

Решение.

Проведем прямую (а) с направляющим вектором , проходящую через точку М ₀ перпендикулярно к плоскости (α). Ее уравнение: . Так как (а) (α), то верно, что .

Тогда можем записать, что и уравнение прямой примет вид: или в параметрическом виде .

Пусть прямая и плоскость пересекаются в точке Е. Тогда .

Найдем координаты точки Е. Так как это точка пересечения прямой и плоскости, то ее координаты – решение системы . Перепишем ее в виде .

Подставим выражения для x, y, z в 4-ое уравнение системы, получим:

число, пусть t = t ₀.

Подставим известное t ₀ в выражения для x, y, z, т.е. в первые три уравнения системы:

,

,

.

Следовательно, координаты точки Е: . Тогда координаты вектора . Найдем .

= (подставим вместо t ₀ его значение) = .

– расстояние от точки до плоскости

Дата добавления: 2015-08-27