Стр. 36 № 10 Какой из перечисленных рядов сходится?

Если , то ряд расходится.

Стр. 36 № 10 Какой из перечисленных рядов сходится?

Найдём предел

делим числитель и знаменатель на =

, 1 не равен 0, след. исследуемый ряд расходится, так как не выполнен необходимый признак сходимости ряда.

Найдём предел

делим числитель и знаменатель на =

0/1= 0

Необходимое условие сходимости ряда выполняется , следовательно, ряд может сходиться, а может и расходиться.

В таких случаях для решения примеров нужно использовать другие признаки сравнения – достаточные.

Воспользуемся признаком сравнения рядов.

Признак сравнения рядов

Даны два ряда и − такие, что для всех n. Тогда справедливы следующие признаки:

 Если сходится, то также сходится;

 Если расходится, то также расходится.

возьмём для сравнения обобщенный гармонический ряд, из теории математического анализа известно, что этот ряд расходится.

Проводим сравнение

<

1/ <

п <

п² <

п² <

0 < , для любого номера справедливо от 1 до бесконечности.

Следовательно, если ряд расходится, то ряд также расходится.

- расходится.

Найдём предел

Необходимое условие сходимости ряда выполняется , следовательно, ряд может сходиться, а может и расходиться. Но из теории математического анализа известно, что гармонический ряд расходится, следовательно, ряд расходится.

Этот ряд записан некорректно, так как при п =1 первый член ряда имеет вид

, что противоречит определению квадратного арифметического корня (под корнем не может быть отрицательного числа). Значит, суммирование надо начинать с номера два:

Найдём предел

возьмём для сравнения обобщенный гармонический ряд, из теории математического анализа известно, что этот ряд сходится.

Предельный признак сравнения рядов

Пусть даны два ряда и , у которых члены a_n и b_n положительны для всех n. Тогда справедливы следующие предельные признаки:

• Если , то оба ряда и либо сходятся, либо расходятся;

Сравним данный ряд со сходящимся рядом . Используем предельный признак сравнения.

Если нам удастся показать, что равен конечному, отличному от нуля числу, то будет доказано, что ряд – тоже сходится.

=

Получено конечное, отличное от нуля число, значит, исследуемый ряд сходится вместе с рядом .

- ряд сходится

Найдём предел

5>1, это геометрическая прогрессия (геометрический ряд) из теории математического анализа известно, что этот ряд расходится.

- ряд расходится.

Стр. 37 № 7 Исследовать на сходимость числовой ряд.

Найдём предел

не равно нулю, исследуемый ряд расходится, так как не выполнен необходимый признак сходимости ряда.

Стр. 38 № 3 билет 2 Исследовать на сходимость числовой ряд.

Найдём предел. Будем использовать предельный признак сравнения рядов.

Таким образом, наш ряд нужно сравнить с рядом , то есть, с расходящимся гармоническим рядом.

=

Получено конечное, отличное от нуля число, значит, исследуемый ряд расходится вместе с гармоническим рядом .

- ряд расходится.

Стр. 38 № 2 билет 3 Исследовать на сходимость числовой ряд.

Найдём предел

Исследуемый ряд расходится, так как не выполнен необходимый признак сходимости ряда.

Стр. 40 № 7 билет 5 Исследовать на сходимость числовой ряд.

Найдём предел

Исследуемый ряд расходится, так как не выполнен необходимый признак сходимости ряда.

Стр. 41 № 5 билет 6 Исследовать на сходимость числовой ряд.

Найдём предел

Исследуемый ряд расходится, так как не выполнен необходимый признак сходимости ряда.

Дата добавления: 2015-08-28