§8 Многомерные случайные величины. Дискретные двумерные случайные величины.

§8 Многомерные случайные величины. Дискретные двумерные случайные величины.

Случайный вектор называется дискретным случайным вектором, если каждая из его компонент является дискретной случайной величиной. Закон распределения дискретного случайного вектора удобно задавать таблицей распределения(вероятностей), в которой перечислены все возможные пары значений ), , компонент вектора и соответствующие им вероятности , причём . Частные законы распределения , и , компонент и , где , , можно найти, производя в таблице суммирования в каждой строке по столбцам и в каждом столбце по строкам.

Дискретные случайные величины и независимы тогда и только тогда, когда , , , . В противном случае они зависимы.

Ковариацией случайных величин и называют число . Более удобной для вычисления является формула . Для независимых случайных величин и : (необходимое условие независимости). Если , то случайные величины и называют некоррелированными.

Коэффициентом корреляции случайных величин и называют число

, где , .

Коэффициент корреляции обладает свойствами: 1) ; 2) тогда и только тогда, когда и связаны линейной зависимостью , ; 3) если и независимы, то (необходимое условие независимости).

Условные законы распределения компоненты при , (индекс сохраняет одно и тоже значение при всех возможных значениях ) задают рядами распределения, указывая все возможные значения и соответствующие им условные вероятности: , . Аналогично задают условные законы распределения компоненты при , : , . Условные вероятности компонент и вычисляют соответственно по формулам:

, .

Числовые характеристики , , , , , вычисляют по формулам: , , , , .

Условные математические ожидания дискретных случайных величин и при условиях и определяются соответственно формулами: , .

Вероятность события , где -постоянная величина, вычисляется по формуле , где суммирование распространяется на все значения индексов и для которых .

В задачах 12.211-12.214 закон распределения двумерной случайной величины задан таблицей распределения вероятностей. Требуется: а) найти законы распределения составляющих случайных величин , и выяснить являются они зависимыми или нет; б) вычислить , а также вероятность для указанных и ; в) найти условные законы распределения составляющих и при условии, что другая составляющая принимает указанные значения и , а также вычислить , .

12.211 , , , .

	Y
X
	0.05	0.1	0.25
	0.15	0.2	0.25

12.212 , , , .

	Y
X
	0.12	0.18	0.3
	0.08	0.12	0.2

12.213 , , , .

	Y
X
	0.06	0.34	0.03
	0.14	0.36	0.07

12.214 , , , .

	Y
X
	0.06	0.09	0.15
	0.08	0.12	0.2
	0.06	0.09	0.15

12.219 Случайные величины и имеют математические ожидания , , дисперсии , и ковариацию . Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины .

12.220 Найти математические ожидания , , дисперсии , и ковариацию случайных величин и , если , , а случайные величины и имеют следующие числовые характеристики: , , , , .

ОТВЕТЫ:

12.211а) , , и - зависимые случайные величины; б) , , ;

в) , , .

12.212а) , , и - независимые случайные величины; б) , , ;

в) , , .

12.213а) , , и - зависимые случайные величины; б) , , ;

в) , , .

12.214а) , , и - независимые случайные величины; б) , , ;

в) , , .

12.219 , 12.220 , , , ,

Дата добавления: 2015-08-27