1. Середины сторон произвольного треугольника и основания его высот лежат на одной окружности. (Эйлер)

Планиметрия.

Известные задачи.

1. Середины сторон произвольного треугольника и основания его высот лежат на одной окружности. (Эйлер)

2. В треугольнике известны радиусы вписанной и описанной окружностей r и R. Найдите расстояние между их центрами. (Эйлер)

3. В произвольном треугольнике точка пересечения медиан, ортоцентр и центр описанной окружности лежат на одной прямой. (Эйлер)

4. Сумма расстояний от центра описанной окружности до сторон треугольника равна сумме радиусов вписанной и описанной окружностей. (Карно)

5. Пусть точки P, Q, R лежат на сторонах АВ, ВС, СА треугольника АВС. Тогда необходимое и достаточное условие того, что перпендикуляры к сторонам треугольника, проведенные через эти точки, пересекаются в одной точке, состоит в выполнении равенства
AP² + BQ² + CR² = AR² + BP² + CQ². (Карно)

6. ABCD – трапеция, AD║BC, Р – произвольная точка на основании АD, , К – точка пересечения АВ и CD. Прямые BD и СР пересекаются в точке N, прямая КN пересекает AD в точке Q. Найти . (Брианшон)

7. Пусть прямая l пересекает прямые, содержащие стороны треугольника, в трех точках, тогда середины отрезков, соединяющих эти точки с противоположными вершинами, лежат на одной прямой. (Гаусс)

8. Пусть точка М лежит на окружности, описанной вокруг треугольника, тогда основания перпендикуляров, опущенных из точки М на стороны треугольника, лежат на одной прямой. (Симсон)

9. Точка С лежит на отрезке АВ. На отрезках АВ, АС, ВС построены полуокружности по одну сторону от прямой АВ. Полученную фигуру назовем арбелосом Архимеда. Перпендикуляр к отрезку АВ, проведенный в точке С, делит арбелос на две части. Докажите, что окружности, вписанные в две части арбелоса, равны между собой. (Архимед)

10. Внутри треугольника АВС построить такую точку Т, чтобы сумма ТА + ТВ + ТС приняла наименьшее значение. (Ферма)

11. Пусть точки А, В, С, D, M лежат на окружности, расстояния от точки М до прямых АВ, ВС, CD, DA равны соответственно a, b, c, d. Тогда ac = bd. (Папп)

12. Стороны четырехугольника, вписанного в окружность, равны а, b, c, d. Найдите его площадь. (Брахмагупта)

13. Стороны четырехугольника, вписанного в окружность, равны а, b, c, d. Найдите его диагонали.

1. а) Длины оснований трапеции равны a и b. Найдите длину отрезка, параллельного основаниям, который делит площадь трапеции пополам.
   б) В четырехугольнике ABCD точки М и Р лежат на сторонах АВ и CD. Площади четырехугольников AMPD и ВСРМ равны и вокруг каждого из них можно описать окружность. AD = a; BC = b. Найдите МР.

15. Четыре прямые общего положения пересекаются в шести точках, которые являются вершинами четырех треугольников. Докажите, что четыре окружности, описанные вокруг этих треугольников проходят через одну точку. (Точка Микеля)

16. Докажите, что в четырехугольнике, описанном вокруг окружности, прямые, соединяющие точки касания, лежащие на противоположных сторонах, проходят через точку пересечения диагоналей.

17. Пусть точки P и Q лежат на прямых АВ и АС соответственно. Окружности построенные на диаметрах AQ и CP пересекаются в точках М и N, тогда прямая MN проходит через ортоцентр треугольника АВС.

18. В треугольнике АВС напротив сторон а и b лежат углы a и b. Докажите, что . (Теорема тангенсов)

19. А, В, С, D – произвольные точки, K, L, M, N, P, Q – соответственно середины отрезков АВ, ВС, CD, DA, AC, BD. Тогда отрезки KM, LN, PQ проходят через одну точку и делятся ей пополам.

20. Пусть точка М – середина хорды АВ, CD и EF – две любые хорды, проходящие через точку М. Прямые ЕС и DF пересекают прямую АВ в точках Р и Q. Докажите, что MP = MQ. (Задача о бабочке)

21. ABCD – ромб, ÐА = 60°. Точка М лежит на окружности с центром А, проходящей через точки В и D, MB = a, MD = b. Найти МС.

22. Расстояния от вершин правильного треугольника до некоторой прямой, не пересекающей треугольник, равны a, b, c. Найдите сторону треугольника.

23. В окружность радиуса 1 вписан равносторонний треугольник АВС. Найдите сторону квадрата, две соседние вершины которого лежат на окружности, а две другие – на сторонах АВ и ВС.

24. В некотором четырехугольнике сумма отрезков, соединяющих середины противоположных сторон равна полупериметру четырехугольника. Докажите, что четырехугольник является параллелограммом.

25. Внутри квадрата АВCD взята точка М такая, что ÐMCD = ÐMDC = 15°. Найдите углы треугольника АВМ.

26. АВCD – параллелограмм, точка М лежит снаружи параллелограмма и при этом ÐDAM = ÐDCM. Докажите, что ÐAMВ = ÐCMD.

27. А₁В₁C₁D₁ и А₂В₂C₂D₂ – одинаково ориентированные квадраты. Докажите, что середины отрезков А₁А₂, В₁В₂, С₁С₂, D₁D₂ являются вершинами квадрата.

28. ABCD – произвольный четырехугольник. Точки К и L лежат на сторонах AD и ВС и делят их в одном и том же отношении . Точки M и N лежат на сторонах AB и CD и также делят их в одном и том же отношении . Отрезки KL и MN пересекаются в точке Р. Докажите, что ; .

29. Две окружности с радиусами a и b касаются внутренним образом в точке А. Отрезок АВ – диаметр меньшей окружности. К отрезку АВ проведен перпендикуляр, пересекающий окружности в точках C и D, лежащих по одну сторону от прямой АВ. Найдите радиус окружности, описанной вокруг треугольника ACD.

30. Из точки М к окружности проведены касательные МК и МN. Прямая l, проходящая через точку М, пересекает окружность в точках А и В, а отрезок KN – в точке Р. Докажите, что .

31. Докажите, что четырехугольник ABCD является описанным вокруг окружности тогда и только тогда, когда окружности, вписанные в треугольники АВС и DBC касаются отрезка ВС в одной и той же точке.

32. АВС – произвольный треугольник. Постройте точку D такую, чтобы четырехугольник АВСD являлся как вписанным, так и описанным.

33. На окружности радиуса R, описанной вокруг правильного n -угольника, взята произвольная точка М. Найдите сумму квадратов расстояний от этой точки до вершин n -угольника.

34. Найдите длину биссектрисы угла ÐА треугольника АВС со сторонами a, b, c.

35. На координатной плоскости даны точки А(х ₁; у ₁), В(х ₂; у ₂), О(0; 0). Найдите площадь треугольника ОАВ.

36. В четырехугольнике ABCD АВ = СD, точки M и N делят сторону ВС на три равные части, точки Р и Q делят сторону АD на три равные части, при этом отрезки MP и NQ не пересекаются. Докажите, что MP = NQ.

37. Внутри сегмента, отсеченного от окружности ω хордой АВ, расположены две окружности, каждая из которых касается окружности ω и хорды АВ. Докажите, что радикальная ось этих окружностей делит дугу противоположного сегмента пополам.

38. Докажите, что описанная окружность треугольника делит пополам отрезок, соединяющий центры вписанной и вневписанной окружностей.

39. Через точку, лежащую на стороне треугольника, проведите n прямых, которые делят его на равновеликие части.

40. В окружность вписан четырехугольник ABCD. Касательные к окружности в точках В и D пересекаются в точке М, касательные к окружности в точках А и С пересекаются в точке Р. Точка М лежит на прямой АС. Докажите, что точка Р лежит на прямой ВD.

41. Радиусы вневписанных окружностей треугольника равны r ₁, r ₂, r ₃. Найдите радиус вписанной окружности и периметр треугольника.

42. М – точка пересечения медиан треугольника. Прямая, проходящая через точку М, пересекает прямые, содержащие стороны треугольника, в точках P, Q, R, причем точки Р и Q лежат по одну сторону от точки М, а точка R – по другую, МР = а, MQ = b. Найдите MR.

43. Противоположные стороны вписанного в окружность четырехугольника пересекаются в точках Р и Q. Касательные к окружности, проведенные из точек Р и Q равны а и b. Найдите PQ.

44. AM, BN, CK – медианы треугольника АВС, P – произвольная точка плоскости. Докажите, что площадь одного из треугольников PAM; PВN; PCK равна сумме площадей двух других.

45. Докажите, что площадь восьмиугольника, образованного прямыми, которые соединяют вершины параллелограмма с серединами противоположных сторон, равна ¹/₆ площади исходного параллелограмма.

46. Вершины треугольника АВС лежат на сторонах треугольника K₁L₁M₁, а вершины треугольника K₂L₂M₂ лежат на сторонах треугольника АВС. Стороны треугольников K₁L₁M₁ и K₂L₂M₂ соответственно параллельны, а их площади равны P и Q. Найдите площадь треугольника АВС.

47. Через точку М, лежащую внутри треугольника со сторонами а, b, c, проведены три прямые, параллельные сторонам треугольника. Отрезки этих прямых, заключенных внутри треугольника, равны между собой. Найдите длину этих отрезков.

48. Пусть A, B, C, D – произвольные точки. Прямые АС и BD перпендикулярны тогда и только тогда, когда АВ² + CD² = BC² + AD².

49. Пусть АВС – произвольный треугольник, М – произвольная точка. Докажите, что прямые, соответственно симметричные прямым МА, МВ, МС относительно биссектрис углов треугольника, пересекаются в одной точке. (Теорема об изогональном сопряжении)

50. В треугольнике АВС ÐА = 120°, АМ, BN, CK – биссектрисы. Докажите, что MN^MK. (Шарыгин)

Дата добавления: 2015-08-28