Министерство образования , науки и спорта молодежи Украины

Министерство образования, науки и спорта молодежи Украины

Севастопольский национальный технический университет

Кафедра технической кибернетики

Отчет

По лабораторной работе № 1

«Интерполирование функции полиномом (форма Ньютона)»

Выполнила: студентка гр. А-21д

Санникова Мария

Проверил:Захаров

Севастополь

1 ЦЕЛЬ РАБОТЫ

Целью данной работы является:

· Освоение методов алгоритмизации и программирования представления интерполяционного полинома Ньютона с равномерным расположением узлов.

· Изучение свойств интерполяционного полинома Ньютона.

· Исследование зависимости ошибки интерполирования функции от количества и расположения узлов для интерполяционного полинома Ньютона.

2 ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

В лабораторной работе необходимо с помощью составленной программы выполнить следующие расчеты и исследования:

1. Исследовать зависимость поведения интерполяционного полинома F_m(x) и ошибки интерполирования при разных значениях m от:

a) кривизны функции f(x) на разных участках интервала [0,1];

b) расположения значения аргумента x относительно узлов интерполирования.

2. Исследовать зависимость поведения ошибки интерполирования и ошибки интерполирования на интервале от m.

Задание к работе:

Функция

где

№ варианта	С1	С2	С3	С4	С5	Форма Fm(x)
	0,205	-0,1	-2,6	0,942	-0,1375	Ньютона

3 КРАТКИЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ

Интерполирование - это приближённое определение значений функции f(x) в промежуточных точках заданного замкнутого интервала x_B £ x £ x_E изменения её аргумента x по известным значениям f(x₁), f(x₂),…, f(x_m). Значения аргумента x_iÎ[x_B, x_E], i=1,2…,m интерполируемой функции f(x) называются узлами интерполяции.

Интерполирование функции f(x) полиномом означает построение такого полинома минимальной степени F_m(x), который в m узлах интерполяции удовлетворяет условиям:

f^(k)(x_i) = F_m^(k)(x_i), i = 1,2,…,m, k = 0,1,…,m_i-1 (1)

Здесь f^(k)(x_i) – известные значения функции f(x) и её производных k- ого порядка f^(k)(x) в узлах интерполяции, а m_i – кратность i- ого узла. Если m_i=1, i-тый узел называется простым.

Интерполирование функций f(x) полиномом с простыми узлами (m_i=1, i =1,2,…,m) означает построение такого полинома минимальной степени F_m(x), который в m узлах интерполяции удовлетворяет условиям:

f(x_i) = F_m(x_i), i = 1,2,…,m.

В работе предполагается, что узлы x_i - простые и расположены равномерно на интервале [0,1]. При этом первый x₁ и последний x_m узлы находятся на концах интервала (x₁=0, x_m=1), так что шаг интерполирования h (расстояние между двумя соседними узлами) является величиной постоянной на интервале [0,1] и определяется формулой

h = 1/(m-1),

а узлы - формулой

x_i = (i-1) h, i=1,2,…,m.

Интерполяционный полином Ньютона может быть представлен в виде

F_m (x) = , (8)

где

, w_i (x,0) = 1. (9)

Коэффициенты а_i интерполяционного полинома Ньютона определяются как решение системы линейных алгебраических уравнений с нижней треугольной матрицей коэффициентов, которая получается при подстановке (8) в (1). В случае равномерного расположения узлов коэффициенты а_i определяются аналитически через конечные разности значений функции f(x) в узлах интерполирования формулой

.

Ошибка интерполирования функции f(x) на интервале обычно оценивается как максимальное значение на этом интервале абсолютной величины ошибки. Поскольку вычислить E(x) во всех точках интервала невозможно, то в работе предлагается вычислить её значение в точках

z_i = (i-1)·0,01, i = 1,2,…,101

и определить оценку ошибки интерполирования функции на заданном интервале [0,1], как

e = |E(z_i)|.

4 БЛОК-СХЕМА ПРОГРАММЫ

БЛОК 1 «Вычисление коэффициентов полинома»

5 ТЕКСТ ПРОГРАММЫ

program RTM;

uses CRT;

var i,j,k,m:integer;

wi,ti,x,tt,h,E,Emax,ex:real;

g,r,z:array [1..101] of real;

t:text;

name:string[20];

function toch(x:real):real;

begin

toch:=(0.205*x-0.1)/(x*x*x-2.6*sqr(x)+0.942*x-0.1375);

end;

procedure koeficient (m:integer; var t:array of real;

var g:array of real);

var i,j,k:integer;

wi,ti,z:real;

begin

t[1]:=0;

g[1]:=toch(t[1]);

for i:=2 to m do

begin

t[i]:=t[i-1]+h;

g[i]:=toch(t[i]);

end;

for j:=2 to m do

for i:=m downto j do

g[i]:=g[i]-g[i-1];

z:=1;

for k:=2 to m do

begin

z:=z*h*(k-1); g[k]:=g[k]/z;

end;

end;

procedure polinom(m:integer; var g,t:array of real; var x:real;

var tt:real);

var i,j:integer;

wi:real;

begin

x:=g[m];

for i:=m-1 downto 1 do

begin

x:=g[i]+(tt-t[i])*x;

end;

end;

begin

clrscr;

write('Enter the quantity of units of the interpolation:');

readln(m);

write('Enter the name of output file: ');

readln(name);

assign(t, name);

rewrite(t);

writeln(t,' The output data:');

writeln(t,'Quantity of units of the interpolation=',m);

writeln('Zna4eniya funkcii i polinom: ');

h:=1/(m-1);

for i:=1 to m do r[i]:=(i-1)*h;

koeficient (m,r,g);

writeln(t,'tt=0.00 ', 'f(tt)=',toch(tt):3:5,' Fm(tt)=',toch(tt):3:5,' E(x)=',(toch(tt)-toch(tt)):1:5);

writeln(' tt=0.00 ', 'f(tt)=',toch(tt):3:5,' Fm(tt)=',toch(tt):3:5,' E(x)=',(toch(tt)-toch(tt)):1:5);

for k:=1 to 101 do

begin

tt:=(k-1)*0.01;

polinom (m,g,r,x,tt);

E:=toch(tt)-x;

if eMax<abs(toch(tt)-x) then eMax:=abs(toch(tt)-x);

ex:=eMax;

if k mod 5=0 then

begin

writeln(t,' tt=',tt:1:2,' f(tt)=',toch(tt):3:5,' Fm(tt)=',x:3:5,' E(x)=',E:1:5);

writeln(' tt=',tt:1:2,' f(tt)=',toch(tt):3:5,' Fm(tt)=',x:3:5,' E(x)=',E:1:5);

end; end;

tt:=1.00;

begin

writeln(t,' tt=',tt:1:2,' f(tt)=',toch(tt):3:5,' Fm(tt)=',x:3:5,' E(x)=',E:1:5);

writeln(' tt=',tt:1:2,' f(tt)=',toch(tt):3:5,' Fm(tt)=',x:3:5,' E(x)=',E:1:5);

end;

if ex<1e-3 then writeln('Dostighut predel oshibki interpolirovaniya');

writeln ('eMax= ', eMax);

writeln (t,'eMax= ', eMax:3:10);

close(t);

writeln('The result is kept in a file ', name);

writeln('Press any key to exit...');

readln;

end.

6 РЕЗУЛЬТАТЫ МАШИННЫХ ВЫЧИСЛЕНИЙ

Программа выводит результаты на экран и в файл, показанные на рисунках 6.1, 6.2:

а) б)

в)

Рисунок 6.1 – Результаты работы программы, выведенные на экран:

а) m=3; б) m=8; в) m=20.

а) б) в)

Рисунок 6.2 – Результаты работы программы, выведенные в файл:

а) m=3; б) m=8; в) m=20.

Далее, соответственно, при m=30 e=0.991094609; при m=40 e=1.7449213742, при m=50 e= 182.9352106500; при m=70 e=103919480.5100000000

7 ГРАФИКИ

Далее представлены графики функции f(x), полиномов F_m(x), ошибок интерполи-рования при введенных значениях m и зависимости оценки ошибки интерполирования от количества узлов m.

График 7.1 – Функция f(x), полином F_m(x) и ошибка интерполирования при m=3.

График 7.2 – Функция f(x), полином F_m(x) и ошибка интерполирования при m=8.

График 7.3 –Функция f(x), полином F_m(x) и ошибка интерполирования при m=20.

График 7.4 – Зависимость оценки ошибки интерполирования от m.

ВЫВОДЫ

В результате выполнения лабораторной работы были изучены методы алгоритмизации и программирования одной из форм представления интерполяционного полинома, полинома Ньютона, с равномерным расположением узлов интерполирования, и исследована зависимость ошибки интерполирования. Составлена программа на языке Pascal, вычисляющая полином Ньютона.

Из приведённых графиков видно, что:

1) наименьшая погрешность достигается в точках интервала, находящихся наиболее близко к узлам интерполирования; погрешность возрастает приближаясь к середине интервала между узлами;

2) наибольшая погрешность наблюдаются на интервалах между узлами, лежащими на “краях” интервала интерполирования [0,1].

3) также заметно, что в узлах интерполирования значение вычисляется точно, что и следует из формулы метода Ньютона.

Для достижения заданной точности вычислений на интервале [0,1] необходимо 20 узлов интерполирования. При количестве узлов до 39 уровень заданной точности сохраняется, далее (m >39) оценка погрешности возрастает. Это связано с ростом вычислительной ошибки, обусловленной достижением пределов точности компьютера.

Дата добавления: 2015-08-27