Інтегра́льна фо́рмула Коші́ — одна з головних формул комплексного аналізу, виведена Оґюстеном-Луї Коші. Вона дозволяє виразити значення регулярної функції в будь-якій точці області

Інтегра́льна фо́рмула Коші́ — одна з головних формул комплексного аналізу, виведена Оґюстеном-Луї Коші. Вона дозволяє виразити значення регулярної функції в будь-якій точці області через значення функції на межі цієї області. Використовується для доведення еквівалентності понять диференційовності та регулярності, а також при обчисленні контурних інтегралів у комплексній площині.

Теорема[ред. • ред. код]

Нехай функція диференційовна в області . Якщо скінченна область разом зі своєю межею в області , а , то

.

Доведення [ред. • ред. код]

Підінтегральний вираз є відношенням двох диференційовних функцій, при цьому знаменник обертається в нуль лише при . Тому функція диференційовна в усіх точках області за винятаком точки . Візьмемо настільки малим, щоб круг належав області , і позначимо через область , з якої видалено точку , а через область , з якої видалено круг .

Функція диференційовна в області , і область лежить в області разом зі своєю межею (позначимо її через ). Отже, за інтегральною теоремою Кошіінтеграл по від дорівнює нулю. Проте складається з С та кола . Інтегрування відбувається проти годинникової стрілки, тому залишається зліва, а круг — справа. Тому, змінивши напрямок інтегрування по колу на протилежне можна стверджувати:

Інтеграл зліва не залежить від . Тому при обчисленні інтеграла в правій частині значення можна обирати довільно. Отже:

Підінтегральний вираз в обмежений при : він прямує до . Так як довжина дорівнює , а модуль інтеграла не більший за добуток максимума модуля підінтегральної функції на довжину шляху інтегрування, то . Інтеграл обчислюиться при переході до параметричного запису рівняння кола :

Отже,

Оскільки ліва частина рівності не залежить від , то теорему доведено.

Наслідки[ред. • ред. код]

Оскільки це центральна формула всього комлексного аналізу, то вона має декілька важливих наслідків:

· Поняття диференційовності та регулярності еквівалентні;

· Якщо функція має розвинення в ряд Тейлора або ряд Лорана в околі деякої точки , то коефіційєнти ряду визначаються формулою:

де r — довільне додатне дійсне число;

· Якщо функція має похідні до n -ого порядку включно у точці , то вони визначаються за формулою

Формулу легко довести, якщо прирівняти вирази для коефіцієнтів ряду Тейлора в інтегральній та диференціальній формах;

· Для комплесних інтегралів справедлива формула Ньютона—Лейбніца:

де — первісна для . Слід зауважити, що багатозначна функція може і не мати первісної, навіть якщо вона, функція, і регулярна в даній області.

Приклад[ред. • ред. код]

Для функції

обчислити значення інтегралу для контура

У математиці степеневим рядом (однієї змінної) називається нескінченний ряд виду:

де a_n — коефіцієнти n - го доданку, c — деяка константа, а x — змінна визначена в деякій області, що містить c. На практиці часто c рівне нулю і степеневі ряди мають простіший вид:

Степеневі ряди широко використовуються у дійсному і комплексному аналізі, як ряди Тейлора функцій, а також в комбінаториці, теорії ймовірностей та ін.

· Формула Коші-Адамара: Значення радіусу збіжності степеневого ряду може бути обчислено за формулою:

Нехай і — два степеневі ряди з радіусами збіжності і . Тоді

Якщо у ряду вільний член нульовий, тоді

Питання про збіжність ряду в точках межі круга збіжності потребує додаткового аналізу:

· Перша теорема Абеля: Нехай ряд є збіжним в точці . Тоді цей ряд є абсолютно збіжним в кругу рівномірно по на будь-якій компактній підмножині цього круга.

Навпаки, якщо степеневий ряд є розбіжним при , він є розбіжним при всіх , таких що . З першої теореми Абеля також випливає, що існує такий радіус круга (можливо, нульовий або нескінченний), що при ряд є абсолютно збіжним (і збіжність є рівномірною по на компактних підмножинах круга ), а при ряд є розбіжним. Це значення називається радіусом збіжності ряду, а круг — кругом збіжності.

Ряд Те́йлора — розклад функції у нескінченну суму степеневих функцій.

Нехай функція нескінченно диференційована в деякому околі точки тоді ряд

має назву ряда Тейлора функції у точці . У випадку, якщо цей ряд іноді зветься рядом Маклорена.

Якщо є аналітичною функцією, то її ряд Тейлора у будь-якій точці області визначення збігається до в деякому околі .

Розклад в ряд Маклорена для деяких функцій[ред. • ред. код]

Нижче наведені розклади в ряд Маклорена деяких основних функцій, що вірні для комплексних і дійсних x.

Експонента і натуральний логарифм:

для

Біноміальний розклад:

для і усіх комплексних де

Квадратний корінь:

для всіх

Геометричний ряд:

для

Скінченний геометричний ряд:

для всіх

Тригонометричні функції:

для

для де — числа Ейлера^[en]

для

для

для

Гіперболічні функції:

для

для

для

52 дивись на 51

У комплексному аналізі теорема Ліувіля стверджує, що якщо ціла функція комплексних змінних є обмеженою, тобто

то — константа.

Доведення (для випадку )[ред. • ред. код]

Нехай обмежена на комплексній площині, тобто

Скористаємося інтегральною формулою Коші для похідної

Де — коло радіуса , що містить точку .

Маємо

Звідси, зважаючи що інтегральна формула Коші справедлива для довільного контура, маємо

Тоді і, відповідно, є константою. Теорема доведена.

Узагальнення[ред. • ред. код]

· Якщо ― ціла функція в і для деякого ,

для достатньо великих |z|, то — многочлен від змінних степеня не вище .

Доведення для однієї змінної. Визначимо:

Оскільки f є цілою функцією, то g теж є цілою, і, зважаючи на обмеження на f, одержуємо

для достатньо великих |z|.

Якщо припустити, що g є многочленом степеня не більше n-1, то f є многочленом степеня не більше n. Для завершення доведення достатньо використати звичайну теорему Ліувіля і метод математичної індукції.

· Якщо ― дійсна гармонічна функція на всьому просторі ,

то — гармонічний многочлен від цих змінних.

Ряд Лорана — розклад комплексної функції f (z) у двосторонній степеневий ряд, що також містить доданки від'ємного степеня. Використовується для вираження комплексної функції у випадках, коли розклад в ряд Тейлора не може бути використаним. Ряди Лорана названі на честь П'єра Альфонса Лорана, що вперше опублікував свої дослідження цих рядів у1843 році. Карл Вейєрштрасс, можливо, використовував ці ряди ще у 1841 році, але не опублікував своїх результатів.

Для комплексної функції f (z), аналітичної у скінченому кільці з центром в точці c, в довільній точці кільця виконується:

де члени ряду a_n визначаються за формулою:

Шлях інтегрування γ є довільним замкненим контуром, що лежить в кільці і містить точку с.

Властивості[ред. • ред. код]

· Головною частиною ряду Лорана називаються члени з від'ємними степенями:

· Правильною частиною (Тейлорівською частиною) ряду Лорана називаються члени з невід'ємними степенями:

· Якщо ряд Лорана збігається, то його внутрішність області збіжності є кільцем:

· В своємі кільці збіжності ряд Лорана збігається абсолютно.

· Функція f (z) допускає єдиний розвиток в ряд Лорана в певній точці (якщо він існує).

Теорема Лорана[ред. • ред. код]

Функція f (z) однозначна і аналітична в скінченому кільці в довільній точці цього кільця допускає розвинення в збіжний ряд Лорана.

Ряд Лорана є зручним інструментом для оцінки поведінки функції в околі ізольованої особливої точки. В залежності від головної частини ряду, особливу точку визначають як:

· усувна особлива точка, якщо головна частина не містить ненульових членів;

· простий полюс, якщо головна частина має скінчену кількість членів;

· істотньо особлива точка, якщо головна частина має нескінчену кількість членів.

Особлива точка — точка голоморфної функції, в якій функція не визначена, її границя нескінченна або границі не існує.

Для багатозначних аналітичних функцій до особливих точок також відносять точки розгалужень.

Можливі дві класифікації особливих точок. Перша по теоретико-множинним властивостям:

· ізольована особлива точка — точка, для якої існує проколотий окіл, в якому ця функція аналітична.

· неізольована особлива точка — особлива точка, що не є ізольованою.

Види особливостей[ред. • ред. код]

· усувна особлива точка — точка, в якій функція не визначена, але границя функції існує і вона скінченна, отже, в цій точці функцію можна доповнити понеперервності.

· полюс — точка, в якій границя нескінченна. При розгляді функції як відображення не в комплексну площину, а на сферу Рімана, полюс не вважають особливою точкою (див. мероморфна функція).

· суттєво особлива точка — точка, в якій границя функції не визначена.

Особливі точки на ріманових поверхнях[ред. • ред. код]

Особливі точки також можна розглядати у голоморфних функцій, визначених на рімановіх поверхнях. Зокрема, якщо змінна z пробігає сферу Рімана, то особливість на нескінченності функції визначається за степенем «особливості» точки 0 для функції .

Ізольо́вана особли́ва то́чка — точка, в деякому проколотому околі якої функція однозначна і аналітична, а в самій точці або не задана, або не голоморфна.

Класифікація[ред. • ред. код]

Якщо — особлива точка для функції , то, будучи аналітичною в деякому проколотому околі цієї точки, вона розкладається в ряд Лорана, що збігається в цьому околі.

Перша частина цього розкладу називається правильною частиною ряду Лорана, друга — головною частиною ряду Лорана.

Тип особливої точки функції визначається по головній частині цього розкладу.

Лишок[ред. • ред. код]

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.

Не варто плутати з Залишком.

Ли́шок (від фр. résidu — лишок, англ. residue, рос. вычет) у комплексному аналізі — число (як дійсне, так і комплексне), яке описує поведінку криволінійних інтегралівмероморфних функцій у деякій особливій точці. За допомогою лишків можна обчислювати значення інтегралів різних типів, у тому числі дійсних.

Визначення[ред. • ред. код]

Нехай функція має ізольовану особливу точку однозначного характеру (або регулярна у цій точці). При скінченному лишком функції у точці називається величина

Оскільки — будь-яке достатньо мале додатне число, а — мероморфна, то величина вищевказаного інтегралу не залежить від значення цього параметра та шляху інтегрування.

Не складно довести, що перший коефіцієнт розкладу функції по степеням в ряд Лорана є лишком цієї функції:

Лишок у «нескінченності»[ред. • ред. код]

Для повного дослідження функції необхідно розглядати лишок у нескінченності (нескінченно віддалена точка на сфері Рімана). Нехай точка є ізольованою особливою точкою однозначного характеру функції , тоді лишком у нескінченності називається число

,

де — будь-яке достатньо велике додатне число. При цьому напрямок інтегрування по межі області обирається так, щоб область залишалася зліва (тобто протигодинникової стрілки).

Аналогічно до попереднього випадку, лишок у нескінченності можна представити у вигляді коефіцієнта лоранівського розвинення в околі нескінченно віддаленої точки:

Логарифмічний лишок[ред. • ред. код]

Інтеграл виду

називається логарифмічним лишком функції відносно контура С. Свою назву отримав через те, що підінтегральний вираз є похідною логарифма. Знаходить застосування у доведенні теореми Руше та основної теореми алгебри. Сам інтеграл визначається лише принципом аргументу:

Методи обчислення лишків[ред. • ред. код]

На практиці обчислювати лишки за означенням, тобто через контурний інтеграл, у багатьох випадках важко. Тому використовують наслідки з означення для особливих точок різного типу.

Усувна особлива точка[ред. • ред. код]

В усувній особливій точці лишок дорівнює нулю. Проте, у випадку з нескінченністю це не завжди так. Якщо в околі нескінченно віддаленої точки функція має розвинення в ряд Лорана, то

Полюс[ред. • ред. код]

· Простий полюс у точці :

· Полюс кратності n у точці :

Проте, якщо функція представлена як частка двох голоморфних функцій: , і , то:

Істотно особлива точка[ред. • ред. код]

У більшості випадків в істотно особливій точці лишок зручно знаходити, як коефіцієнт розвинення в ряд Лорана. Наприклад:

Розвинемо та в ряд Лорана:

Тоді після підстановки цих розвинень та зведення подібних доданків, можна побачити, що:

Дата добавления: 2015-08-27