Основное уравнение распространения.

Основное уравнение распространения.

1. Волновое уравнение и метод ММА (медленно меняющихся амплитуд).

2. Аналитические методы решения волновых уравнений.

3. НУШ (нелинейные уравнения Шредингера).

4. Численные методы решения волновых уравнений.

1.

Уравнение распространения в общем случае имеет следующий вид:

,

где и нелинейная части индуцированной поляризации.

Будем использовать ММА:

,

- единичный вектор в направлении поляризации электрического поля, которое предполагается линейно-поляризованным в направлении оси x; – медленно изменяющаяся функция времени; - несущая частота волны.

Будем следовать следующим приближениям:

малое возмущение к ;

б) состояние поляризации оптического поля сохраняется вдоль длины волокна, поэтому справедлив скалярный подход;

в) оптическое поле является квазимонохроматическим, т.е. спектр с центом на частоте имеет ширину , такую, что .Это справедливо для импульсов длительностью > 0,1 пс.

,

.

После подстановки включаем следующее уравнение:

. (1)

Здесь А - это функция амплитуды электромагнитного поля; - обратная групповая скорость; - групповая скорость II порядка; - потери; - коэффициент нелинейности.

,

- коэффициент нелинейности, - эффективная площадь моды (обычно 10 ).

Уравнение (1) также следует модифицировать, если рассматривается распространение сверхкоротких импульсов длительностью < 100 фс. Ширина спектра таких импульсов , и некоторые приближения, сделанные при выводе уравнения (1), становятся необоснованными. Кроме того, спектр таких коротких импульсов достаточно широко (> 5 ТГц), так что под действием ВКР низкочастотные компоненты спектра могут усиливаться, получая энергию от высокочастотных компонент спектра того же импульса. В результате спектр короткого импульса смещается в длинноволновую область спектра при распространении в световоде. Это явление называется вынужденным комбинационным саморассеянием. Физически этот эффект объясняется запаздывающим нелинейным откликом среды. Обобщенное уравнение распространения принимает вид:

. (2)

описывает дисперсионные эффекты высшего порядка, которые становятся важными для сверхкоротких импульсов с их широкими спектрами, даже когда длина волны находится далеко от длины волны нулевой дисперсии; вызывает самоукручение крыла импульса или образование ударной волны огибающей; возникает как результат запаздывающего нелинейного отклика и описывает эффект самосмещения частоты.

(3) (4)

- параметр нелинейности; - наклон линии ВКР-усиления.

2,3.

Прежде чем решать уравнение (2), полезно перейти в систему координат, движущуюся с групповой скоростью импульса (так называемые бегущие координаты). Выполним преобразование:

(5)

и, использовав уравнения (2)-(4), получим:

. (6)

Это уравнение можно использовать для изучения распространения импульсов длительностью до ~ 10 фс. В случае импульсов длительностью фс, такой, что и , можно использовать более простое уравнение:

, (7)

Которое также можно получить из уравнения (1), используя преобразование (5). В особом случае уравнение (7) называется нелинейным уравнением Шредингера, подробно изученным в связи с солитонами. Проводя аналогию, уравнение (6) иногда называют обобщенным нелинейным уравнением Шредингера.

Важно отметить, что уравнение (6) описывает эффект задержанного нелинейного отклика среды приближенно. В более общем случае нелинейная часть показателя преломления рассматривается зависящей от времени. Тогда уравнение (6) заменяется на уравнение

, (8)

где удовлетворяет уравнению

. (9)

Время отклика оценивается величиной 2-4 фс путем сопоставления эксперимента и предсказаний уравнений (8). Уравнение (9) предполагает экспоненциальный спад нелинейного отклик, и его решение имеет вид:

. (10)

Уравнение (6) можно получить, разлагая в ряд Тейлора в окрестности T и сохраняя только член первого порядка. В общем случае экспонента в уравнении (10) заменяется на функцию отклика , которая находится на основании спектра ВКР-усиления.

4.

Часто для изучения нелинейных эффектов в световоде необходимо численное моделирование. Для этой цели можно использовать множество численных методов, которые можно отнести к одному из двух классов: 1) разностные методы и 2) псевдоспектральные методы. Одним из наиболее широко используемых методов решения задачи распространения импульсов в нелинейной среде с дисперсией является Фурье-метод расщепления по физическим факторам (SSFM).

Чтобы понять принцип метода SSFM, удобно формально записать уравнение (6) в виде: , (11)

Где - дифференциальный оператор, учитывающий дисперсию и поглощение в линейной среде, а - нелинейный оператор, описывающий действие нелинейностей световода на распространение импульса. Эти операторы записываются следующим образом:

.

Предполагаем, что при распространении импульса от точки z к z+h описывается в два уже последовательных шага. На первом действует только нелинейность и в уравнении (11). На втором шаге действует только дисперсия и в уравнении (11). Математически

.

Действие экспоненциального оператора можно выполнить в Фурье-представлении, следуя формуле:

, (12)

где F обозначает оператор Фурье-преобразования.

При таком подходе метод расщепления по физическим факторам дает точность до . Для увеличения точности

(13)

Точность III порядка по h. Точность метода можно еще улучшить, если приблизить интеграл в уравнении (13) более того, нежели величиной . Самый простой способ – это применение для вычисления интеграла правила трапеции:

.

Применять SSFM-метод относительно просто. Для реализации световод делится на множество сегментов, которые не обязательно должны быть одинаковой длины. Оптический импульс преобразуется от сегмента к сегменту в соответствии с уравнением (13).

Только дисперсия Только нелинейность

A (z, T)

z=0 h

Рис. 1. Схема симметризованного SSFМ-метода, используемого для численного моделирования. Длина световода разбивается на большое количество сегментов длины h. Внутри сегмента действие нелинейности учитывается в центральной точке, указанной штриховой линией.

Оптическое поле A(z, T) сначала проходит расстояние h/2, на котором действует только дисперсия групповых скоростей; при этом используется алгоритм БПФ и уравнение (12). В точке z+h/2 поле умножается на нелинейный фактор, который характеризует действие нелинейности на полной длине сегмента h, и наконец, поле проходит оставшееся расстояние h/2, где действует только дисперсия; в результате получается A(z+h,T). Таким образом, предполагается, что нелинейность действует только в средней точке каждого сегмента (штриховые линии на рис. 1)

Дата добавления: 2015-08-27