И одновременно 3 страница

Тогда имеем

^х\ ₌ Ф(*|) ₌ Д*1

Х₂ ф(*₂) 0X2

Вид этого соотношения объясняет название шкал отношений.

Примерами измерений в шкалах отношений являются изме­рения массы и длины объектов. Известно, что при установлении массы используется большое разнообразие численных оценок. Так, производя измерение в килограммах, получаем одно чис­ленное значение, при измерении в фунтах - другое и т.д. Однако можно заметить, что в какой бы системе единиц ни проводилось измерение массы, отношение масс любых объектов одинаково и при переходе от одной числовой системы к другой, эквивалент­ной, не меняется. Этим же свойством обладает и измерение рас­стояний и длин предметов.

Как видно из рассмотренных примеров, шкалы отношений от­ражают отношения свойств объектов, т.е. во сколько раз свойство одного объекта превосходит это же свойство другого объекта.

Шкалы отношений образуют подмножество шкал интервалов фиксированием нулевого значения параметра Ь\ Ъ - 0. Такая фик­сация означает задание нулевой точки начала отсчета шкальных значений для всех шкал отношений. Переход от одной шкалы

50* 787

отношений к другой эквивалентной ей шкале осуществляется с помощью преобразований подобия (растяжения), т.е. изменени­ем масштаба измерений. Шкалы отношений, являясь частным случаем шкал интервалов, при выборе нулевой точки отсчета сохраняют не только отношения свойств объектов, но и отноше­ния расстояний между парами объектов.

Шкалы разностей. Шкалы разностей определяются как шка­лы, единственные с точностью до преобразований сдвига

Ф (дг) - х + Ь,

гдехе У- шкальные значения из области определения Y; Ъ - действительные числа.

Это означает, что при переходе от одной числовой системы к другой меняется лишь начало отсчета.

Шкалы разностей применяются в тех случаях, когда необхо­димо измерить, насколько один объект превосходит по опре­деленному свойству другой объект. В шкалах разностей неизмен­ными остаются разности численных оценок свойств. Действитель­но, если х₁ и х₂ оценки объектов а, и а₂ в одной шкале, а <р (я,) = = X] + b и ф (х₂)= х₂ + Ь в другой, то имеем:

Ф (*i) - ф (х₂) = (х_х +b)-(x₂ + b)=x_l-x₂.

Примерами измерений в шкалах разностей могут служить из­мерения прироста продукции предприятий (в абсолютных едини­цах) в текущем году по сравнению с прошлым, увеличение числен­ности учреждений, количество приобретенной техники за год и т.д.

Другим примером измерения в шкале разностей является ле­тосчисление (в годах). Переход от одного летосчисления к друго­му осуществляется изменением начала отсчета.

Как и шкалы отношений, шкалы разностей являются частным случаем шкал интервалов, получаемых фиксированием парамет­ра а: (й=1), т.е. выбором единицы масштаба измерений. Точка отсчета в шкалах разностей может быть произвольной. Шкалы разностей, как и шкалы интервалов, сохраняют отношения ин­тервалов между оценками пар объектов, но в отличие от шкалы отношений не сохраняют отношения оценок свойств объектов.

Абсолютные шкалы. Абсолютными называют шкалы, в кото­рых единственными допустимыми преобразованиями Ф являют­ся тождественные преобразования:

Я> (*) = {<?},

где е(х) = х.

Это означает, что существует только одно отображение эм­пирических объектов в числовую систему. Отсюда и название шкалы, так как для нее единственность измерения понимается в буквальном, абсолютном смысле.

Абсолютные шкалы применяются, например, для измерения количества объектов, предметов, событий, решений и т.п. В ка­честве шкальных значений при измерении количества объектов используются натуральные числа, когда объекты представлены целыми единицами, и действительные числа, если, кроме целых единиц, присутствуют и части объектов.

Абсолютные шкалы являются частным случаем всех ранее рассмотренных типов шкал, поэтому сохраняют любые соотно­шения между числами - оценками измеряемых свойств объектов: различие, порядок, отношение интервалов, отношение и разность значений и т. д.

Кроме указанных существуют промежуточные типы шкал, такие, например, как степенная шкала <р{х) =ax^b\ a>0,b> 0, й^1, Ьф1 и ее разновидность - логарифмическая шкала <р(х) =x^b;b> О, Ьф\.

Не останавливаясь подробно на промежуточных вариантах, изобразим для наглядности соотношения между основными ти­пами шкал в виде иерархической структуры основных шкал, где стрелки указывают включение совокупностей допустимых пре­образований более «сильных» в менее «сильные» типы шкал. При этом шкала тем «сильнее», чем меньше свободы в выборе ц>(х).

Некоторые шкалы являются изоморфными, т.е. равносильны­ми. Например, равносильны щкала интервалов и степенная шка­ла. Логарифмическая шкала равносильна шкале разностей и шка­ле отношений.

Обработка характеристик, измеренных в разных шкалах. При проведении измерений необходимо отделять существенно несрав­нимые альтернативы от несравнимых альтернатив, допускающих косвенную сравнительную оценку.

Так, например, если эксперт считает несравнимыми альтер­нативы у _{ и у₂, но в то же время считает альтернативу у_у более предпочтительной, а альтернативу у₂ менее предпочтительной, чем у_г, то можно с определенными оговорками считать у_х более

предпочтительной, чем у₂. Отношение R_y при наличии несравни­мых альтернатив является отношением частичного порядка. В этом случае вводится понятие квазишкалы.

Особенностью измерения и оценивания качества сложных систем является то, что для одной системы по разным частным показателям качества могут применяться любые из типов шкал -от самых слабых до самых сильных. При этом для получения на­дежного значения показателя может проводиться несколько из­мерений. Кроме того, обобщенный показатель системы может представлять собой некую осредненную величину однородных частных показателей.

При измерении и оценке физических величин обычно труд­ности не возникают, так как перечислимые величины измеряют­ся в абсолютной шкале. Измерение, например, ряда антропомет­рических характеристик осуществляется в шкале отношений. Более сложной является оценка в качественных шкалах. Однако отдельные показатели в процессе системного анализа уточняют­ся, и, как следствие, появляется возможность от измерения и оцен­ки в качественных шкалах перейти к оценке в количественных шкалах.

В любом случае при работе с величинами, измеренными в разных шкалах, необходимо соблюдать определенные правила, которые не всегда очевидны. Иначе неизбежны грубые просчеты и промахи при оценке систем.

Проиллюстрируем широко распространенную ошибку при использовании балльной оценки. Пусть для экспертизы представ­лены две системы А и Б, оцениваемые по свойствам y_v у₂, y_v у₄. Качество каждой системы оценивается как среднее арифметичес­кое по пятибалльной системе, но оценка в баллах является вслед­ствие округления не совсем точной. Так, например, свойства, имеющие фактический уровень 2,6 и 3,4 балла, получат одинако­вую оценку 3 балла. Результаты экспертизы приведены в табл. 1.

По фактическому качеству лучшей является система А, а по результатам экспертизы лучшей^ признают систему Б. Таким об­разом, способы измерения и обработки их результатов оказыва­ют существенное влияние на результаты.

Избежать ошибок можно, используя результаты, полученные в теории шкалирования, они определяют правила и перечень до­пустимых операций осреднения характеристик. Остановимся под­робнее на правилах осреднения.

Проводить осреднение допускается только для однородных характеристик, измеренных в одной шкале.

Это означает, например, что не имеет физического смысла вычисление среднего значения скорости для мобильного абонент­ского пункта, если слагаемыми являются скорость передачи данных и скорость перемещения этого объекта. Иными словами, осредняются только такие значения у_р i = 1,..., п, которые пред­ставляют собой или оценки различных измерений одной и той же характеристики, или оценки нескольких различных однород­ных характеристик.

Каждое значение показателя у_{ может иметь для исследовате­ля различную ценность, которую учитывают с помощью коэф­фициентов значимости с-, причем

П

Ы

Для получения осредненного значения показателя наиболее часто применяют основные формулы осреднения, приведенные в табл. 2.

Простая и взвешенные средние величины различаются не толь­ко по величине (не всегда), по способу вычисления, но и по своей роли в решении задач системного анализа. При этом средневзве­шенные величины используются для сравнения систем с учетом «вклада» различных факторов в осредненную оценку.

Рассмотрим, например, среднее количество информации, по­лучаемой из сети Интернет организацией, пользующейся услуга­ми различных прикладных служб. Если эта средняя величина вхо­дит в систему показателей себестоимости, протоколов работы, типов используемых линий, то следует применять взвешенное среднее, так как произведение невзвешенного среднего на общую

пропускную способность линий не даст количества полученной информации, поскольку служба электронной почты использует­ся, например, значительно реже, чем WWW, и, следовательно, вносит меньший «вклад» в общее количество получаемой инфор­мации. Если же необходимо изучить связь количества получае­мой информации с днем недели, то следует применять простое среднее количество информации за сутки, полностью абстраги­руясь от различий между типами служб.

Среднее арифметическое используется в случаях, когда важ­но сравнить абсолютные значения какой-либо характеристики нескольких систем. Например, скорость вывода на печать тек­стов (лист/мин.) для различных печатающих устройств.

Если при замене индивидуальных значений показателя на среднюю величину требуется сохранить неизменной сумму квад­ратов исходных величин (измерение вариации характеристики в совокупности), то в качестве средней следует использовать сред­нее квадратическое. Например, при определении местоположе­ния источника радиоизлучения в радиоразведке вычисляется сред­нее квадратическое отклонение нескольких измерений.

Среднее геометрическое, в свою очередь, используется для оп­ределения относительной разности отдельных значений при не­обходимости сохранения произведения индивидуальных величин тогда, когда среднее значение качественно одинаково удалено от максимального и минимального значений, т.е. когда важны не абсолютные значения, а относительный разброс характеристик. Например, если максимальная производительность процессора на операциях с данными целочисленного типа составляет для сжатия текстового файла миллион условных единиц, а для сжа­тия изображений графических объектов - сто, то какую величи­ну считать средней? Среднее арифметическое (500 000) качествен­но однородно с максимальным и резко отлично от минимального. Среднее геометрическое с точки зрения логики дает верный от­вет - 10 000. Не миллион и не сотня, а нечто среднее. В статистике среднее геометрическое находит применение при определении средних темпов роста.

Среднее гармоническое используется, если необходимо, что­бы неизменной оставалась сумма величин, обратных индивиду­альным значениям характеристик. Пусть, например, в режиме обмена данными средняя скорость передачи данных по прямому каналу составляет 64 Кб/с, а средняя скорость по обратному ка­налу - 2,4 Кб/с. Какова средняя скорость обмена данными? При замене индивидуальных значений скорости у_{ = 64 чу₂ - 2,4 на среднюю величину необходимо, чтобы неизменной величиной осталось время передачи в обе стороны, иначе средняя скорость может оказаться любой. Таким образом,

(\ 1 Y¹

у =2 —+— =4,8 Кб/с. ^Р 1«4 2,4 J

Приведенные примеры показывают, что в каждом конкрет­ном случае требуется четкое определение допустимых условий применения средних величин.

Соотношение между разными типами средних величин опре­деляется правилом мажорантности средних СГр <, СГм < СА 5 СК.

Использование необоснованных способов определения сред­них величин может привести к искусственному завышению или занижению осредненного значения показателя качества системы.

Сводные данные по характеристикам разных шкал и перечень допустимых операций осреднения характеристик приведены в табл. 3.

Как следует из этой таблицы, для величин, измеренных в но­минальной шкале, никакие осреднения не допускаются.

Среднее арифметическое применимо для величин, измерен­ных в шкалах интервалов, разностей, отношений и абсолютной, но недопустимо для шкалы порядка.

Более устойчивой оценкой среднего является медиана (50%-ный квантиль), которая рекомендуется как основной показатель для шкал порядка, интервалов, разностей, отношений и абсолютной. Математическое ожидание допустимо для шкал интервалов, раз­ностей, отношений и абсолютных, но не столь устойчиво, как медиана. Применение его для величин, измеренных в шкале по­рядка, является некорректным.

Среднее геометрическое является единственно допустимым средним для степенных и логарифмических шкал, а также одним из допустимых для шкалы отношений. Для нее допустимы также средневзвешенное арифметическое, среднее гармоническое и сред­нее квадратическое.

Вопрос о применении средних в настоящее время исследован достаточно полно. Это нельзя сказать о средневзвешенных. Од­нако для наиболее часто применяемого средневзвешенного ариф­метического доказан следующий факт. Средневзвешенное ариф­метическое, часто применяемое как обобщенный линейный критерий (аддитивная свертка при сведении векторной задачи к скалярной, при осреднении показателей и др.), допустимо при­менять тогда и только тогда, когда значения частных показате­лей можно представить мультипликативным метризованным от­ношением линейного порядка или, другими словами, когда они измерены в шкале отношений. Доказано, что задача линейного программирования корректна, если коэффициенты ее целевой функции и ограничений измерены в шкале отношений.

Перспективы развития теории шкалирования и ее примене­ния для нужд математического обеспечения информационных систем связаны с дальнейшим развитием понятия измерения. Наиболее перспективным представляется расширение понимания шкалы путем привлечения понятий нечеткой и лингвистических переменных, используемых в теории нечетких множеств. Обоб­щение понятия характеристической функции путем перехода к

понятию функции принадлежности ц._/(е [0,1], используемой в этой теории, создает основу для введения более тонкой структуры из­мерения качественных характеристик и учета неопределенностей, свойственных сложным системам на основе понятия нечеткой

шкалы.

ш 14 алы.

Например, пусть рассматриваемое нечеткое множество - воз­раст людей. Нечеткими переменными (шкальными значениями), означающими возраст, являются лингвистические переменные «молодой», «средний», «старый» с приписанными им функция­ми принадлежности, которые можно определить так, как показа­но на рис. 2.

При этом 20-летний человек относится к нечеткому подмно­жеству возраста «молодой» с функцией принадлежности \х_иоп = = 0,8, и он же с функцией принадлежности \i =0,1 относится к нечеткому подмножеству возраста «средний».

• 1.Анфилатов B.C. Системный анализ в управлении / В.С, Анфилатов, А.А. Емельянов, А.А. Кукушкин / под ред. А.А. Емельянова. - М.: Финансы и статистика, 2002. 2. Ланнэ А.А. Многокритериальная оптимизация / А.А. Ланнэ, Д.А. Улахович. - М.: Военная академия связи, 1984. 3. Пету­хов Г.Б. Основы теории эффективности целенаправленных процессов. Ч. I. Методология, методы, модели / Г.Б. Петухов. - М., 1989. А.А, Емельянов

------------------------------------------ <►

ЭВРИСТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ - методы решения задач, осно­ванные на эвристике, или эвристическом рассуждении, т.е. на ис­пользовании правил и приемов, обобщающих прошлый опыт, и интуиции решающего.

Эвристика в широком смысле - раздел психологии, изучаю­щий природу мыслительной деятельности человека, мыслитель­ных операций при решении им различных задач.

Эвристические рассуждения строятся преимущественно на использовании аналогий и неполной индукции.

Систематизацию эвристических принципов пытались прово­дить многие, начиная с Евклида.

Важную роль в развитии эвристических методов в середине XX в. сыграла работа Д. Пойа [9], который ввел понятие «прав­доподобное рассуждение». Эвристическое рассуждение стали счи­тать предварительным правдоподобным рассуждением, направ­ленным на решение задачи [1].

Использование эвристических методов для принятия решений началось в связи с развитием кибернетики (см.), в которой были поставлены задачи изучения способностей мозга к творческому мышлению и воспроизведения этих способностей на ЭВМ. Изу­чение проблем эвристики связано с более общей проблемой со­здания искусственного интеллекта (см.).

На эвристических методах базировались методы техническо­го творчества [2, 4-6] и возникшая в последующем теория реше­ния изобретательских задач (ТРИЗ) [3].

В теории систем был период, когда все неформальные мето­ды называли эвристическими, отождествляя этот термин с тер­мином экспертные методы в широком смысле.

Эвристические правила пытались формулировать как мето­дические рекомендации без доказательств, как обобщение прак­тического опыта [6].

Например, принцип разумной универсализации, рекомендующий не увлекаться созданием сверхуниверсальных систем; принцип иерархического управления, рекомендующий, чтобы число подраз­делений, подчиненных любой иерархической единице, не пре­вышало 7 ± 2 (основанный на гипотезе Миллера); принцип подготовки развития, предусматривающий в структуре системы определенную избыточность и т.п. [6, 12].

К эвристическим принципам относили и методики (последо­вательности этапов) проектирования системы.

Однако в последующем для методов, которые используются как средства работы с экспертами (типа мозговой атаки, сцена­риев и т.п.), в качестве обобщающего названия был предложен термин методы, направленные на активизацию интуиции и опыта специалистов (см.) [13]. А к эвристическим методам стали отно­сить лишь те, которые связаны непосредственно со способностя­ми человека, с неожиданно предлагаемыми решениями, т.е. не­посредственно с термином эврика, озарение.

На идеях эвристики развивается эвристическое программи­рование [10], методы которого используются при решении задач распознавания образов (см.), при разработке программ для игры в шахматы и других аналогичных областях, где не удается форма­лизовать перебор вариантов решения задачи в обозримые сроки. Разрабатываются методы психоэвристического стимулирования.

• 1. Александров Е.А. Основы теории эвристических решений / Е.А. Александров. - М: Сов. радио, 1970. 2. Альтшуллер Г.С. Алго­ритм изобретения / Г.С. Альтшуллер. - М.: Московский рабочий, 1972. 3. Альтшуллер Г.С. Творчество как точная наука: теория решения изоб­ретательских задач / Г.С. Альтшуллер. -М.: Сов. радио, 1979. 4. Буш Г.Я. Методологические основы научного управления изобретательством / Г.Я. Буш.-Рига: Лиесма, 1974. 5. Буш Г.Я. Стратегия эврилогии/ Г.Я. Буш. - Рига: Знание, 1986. 6. Д ж о н с Дж. Инженерное и художественное конст­руирование / Дж. Джонс. - М.: Мир, 1976. 7. Глушков В.М. Введение в АСУ/ В.М. Глушков. - Киев: Наукова думка, 1974. 8. Ивахненко А.Г. Системы эвристической самоорганизации в технической кибернетике / А.Г. Ивахненко. - Киев: Техшка, 1971. 9. П о й а Д. Математика и правдо­подобные рассуждения / Д. Пойа: пер. с англ. - М.: Изд-во иностр. лит., 1957. 10. Поспелов Д.А. Эвристическое программирование и эвристика как на­ука/ДА. Поспелов//Вопросы философии.-1967.- №7.11. Поспелр^в Д.А. Моделирование рассуждений: опыт анализа мыслительных актов /ДА. По­спелов.-М.: Радио и связь, 1986. 12. Управление, информация,интел­лект / Под ред. А.И. Берга, Б.В. Бирюкова, Е.С. Геллера, Г-Н. Поварова. -М.: Мысль, 1976.13. Системный анализ в экономике и организации про­изводства / Под ред. С. А. Валуева и В.Н.Волковой.-Л.: Политехника, 1991.

В. Н. Волкова, С. В. Широкова

ЭКСПЕРТНЫЕ ОЦЕНКИ - группа методов, наиболее часто используемая в практике оценивания сложных систем на каче­ственном уровне. Термин «эксперт» происходит от латинского слова expert - «опытный».

Изучению особенностей и возможностей применения экспер­тных оценок посвящено много работ. В них рассматриваются:

• проблемы формирования экспертных групп, включая тре­бования к экспертам, размеры группы, вопросы тренировки экс­пертов, оценки их компетентности;

• формы экспертного опроса (разного рода анкетирование, интервью, смешанные формы опроса) и методики организации опроса (в том числе методики анкетирования, мозговая атака, де­ловые игры и т.п.);

• подходы к оцениванию (ранжирование, нормирование, раз­личные виды упорядочения, в том числе методы предпочтений, парных сравнений и др.);

• методы обработки экспертных оценок;

• способы определения согласованности мнений экспертов, достоверности экспертных оценок (в том числе статистические методы оценки дисперсии, оценки вероятности для заданного диапазона изменений оценок, оценки ранговой корреляции Кен-далла, Спирмена, коэффициента конкордации и т.п.), методы повышения согласованности оценок путем соответствующих спо­собов обработки результатов экспертного опроса.

При использовании экспертных оценок обычно предполага­ется, что мнение группы экспертов надежнее, чем мнение отдель­ного эксперта. В некоторых теоретических исследованиях отме­чается, что это предположение не является очевидным, но одновременно утверждается, что при соблюдении определенных требований в большинстве случаев групповые оценки надежнее индивидуальных. К числу таких требований относятся следую­щие: распределение оценок, полученных от экспертов, должно быть «гладким»; две групповые оценки, данные двумя одинако­выми подгруппами, выбранными случайным образом, должны быть близки.

При получении и обработке экспертных оценок применяют различные методы. С обзором форм и методов получения и об­работки экспертных оценок можно познакомиться, например, в [4,8,9, 10 и др.].

В частности, Б.Г. Литвак [4] на основе обобщения и исследова­ния видов шкал измерений и отношений рассматривает особенно­сти мер близости разного рода (на неметризованных и векторных отношениях, структурные, евклидовы); характеризует принципы и методы, основанные на выборе различных способов упорядоче-

ния и отношений предпочтения (в том числе методы ранжирова­ния и гиперупорядочения, методы парных сравнений Черчмена-Акоффа, Терстоуна, метод «смешанной альтернативы» Неймана-Моргенштерна, принцип отбрасывания альтернатив Эрроу, алгоритмы отыскания медианы Кемени, метризованные ранжиро­вания, алгоритмы выбора по принципу Парето, методы определе­ния предпочтений на множествах многомерных альтернатив и т.п.). К наиболее употребительным процедурам экспертных изме­рений относятся:

• ранжирование;

• парное сравнивание;

• множественные сравнения;

• непосредственная оценка;

• последовательное сравнение;

• метод Терстоуна;

• метод Неймана-Моргенштерна.

Целесообразность применения того или иного метода опре­деляется характером анализируемой информации [5, 6]. Если оп­равданы лишь качественные оценки объектов по тем или иным качественным признакам, то используются методы ранжирова­ния, парного и множественного сравнения.

Если характер анализируемой информации таков, что целе­сообразно получить численные оценки объектов, то можно ис­пользовать тот или иной метод численной оценки, начиная от непосредственных численных оценок и кончая более тонкими методами Терстоуна и Неймана-Моргенштерна.

При описании каждого из перечисленных методов будет пред­полагаться, что имеется конечное число измеряемых или оцени­ваемых альтернатив (объектов) А = {а_{>..., а_п) и сформулирова­ны один или несколько признаков сравнения, по которым осуществляется сравнение свойств объектов. Следовательно, методы измерения будут различаться лишь процедурой сравне­ния объектов. Она включает построение отношений ме*еду объек­тами эмпирической системы, выбор преобразования (р и опреде­ление типа шкал измерений. Рассмотрим указанные вопросы для каждого метода измерения.

Ранжирование. Метод представляет собой процедуру упоря­дочения объектов, выполняемую экспертом. На основе знаний и опыта эксперт располагает объекты в порядке предпочтения, ру­ководствуясь одним или несколькими выбранными показателя-

ми сравнения. В зависимости от вида отношений между объекта­ми возможны различные варианты упорядочения объектов.

Рассмотрим эти варианты. Пусть среди объектов нет одина­ковых по сравниваемым показателям, т.е. нет эквивалентных объектов. В этом случае между объектами существует только от­ношение строгого порядка. В результате сравнения всех объек­тов по отношению строгого порядка составляется упорядочен­ная последовательность а_{ > а₂ >... > a_N, где объект с первым номером является наиболее предпочтительным из всех объектов, объект со вторым номером менее предпочтителен, чем первый объект, но предпочтительнее всех остальных объектов, и т.д.

Полученная система объектов с отношением строгого поряд­ка при условии сравнимости всех объектов по этому отношению образует полный строгий порядок. Для этого отношения доказа­но существование числовой системы, элементами которой явля­ются действительные числа, связанные между собой отношением неравенства «>». Это означает, что упорядочению объектов со­ответствует упорядочение чисел х_х >... > x_N, где х,= <р (а₍). Воз­можна и обратная последовательность х_{ <... < x_N, в которой наиболее предпочтительному объекту приписывается наимень­шее число, и по мере убывания предпочтения объектам приписы­ваются большие числа.

Соответствие перечисленных последовательностей, т.е. их гомоморфизм, можно осуществить, выбирая любые числовые представления. Единственным ограничением является монотон­ность преобразования. Следовательно, допустимое преобразова­ние при переходе от одного числового представления к другому должно обладать свойством монотонности. Таким свойством допустимого преобразования обладает шкала порядков, поэто­му ранжирование объектов еедъ измерение в порядковой шкале.

В практике ранжирования чаще всего применяется числовое представление последовательности в виде натуральных чисел:

*i = tp(«i) = 1. *₂ = (р(а₂) = 2,... ,x_N=<p(a_N) = N,

т.е. используется числовая последовательность. Числа x_i,x₂,.—, x_N в этом случае называются рангами и обычно обозначаются буквами г,, r₂,...,r_N.

Применение строгих численных отношений «больше» (>), «меньше» (<) или «равно» (=) не всегда позволяет установить

₅₁-1159

порядок между объектами. Поэтому наряду с ними используют­ся отношения для определения большей или меньшей степени какого-то качественного признака (отношения частичного поряд­ка, например, полезности), отношения типа «более предпочти­тельно» (>-), «менее предпочтительно» (-<), «равноценно» («) или «безразлично» (~). Упорядочение объектов при этом может иметь следующий вид:

а\ > а% >■ дз⁼ «4 ⁼ as^у а₆ >- - >- а_п-\ ⁼ а„-

Данное упорядочение образует нестрогий линейный порядок. Для такого отношения доказано существование числовой систе­мы с отношениями неравенства и равенства между числами, опи­сывающими свойства объектов. Любые две числовые системы для рассматриваемого порядка связаны между собой монотонным преобразованием. Следовательно, ранжирование при условии наличия эквивалентных объектов представляет собой измерение также в порядковой шкале.

Дата добавления: 2015-11-04