Студопедия
Случайная страница | ТОМ-1 | ТОМ-2 | ТОМ-3
АрхитектураБиологияГеографияДругоеИностранные языки
ИнформатикаИсторияКультураЛитератураМатематика
МедицинаМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогика
ПолитикаПравоПрограммированиеПсихологияРелигия
СоциологияСпортСтроительствоФизикаФилософия
ФинансыХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника

Доверительные вероятности и доверительные интервалы

Особенности моделирования и испытаний сложных систем | Показатели эффективности систем | Классификация моделей по способу физической реализации | Классификация моделей по форме математического описания | Построении моделей сложных систем | Вероятностные автоматы и марковские цепи | Модели с дискретными состояниями и непрерывным временем | Алгоритмы реализации моделей | Теоретические основы метода статистического моделирования | Понятие оценки. Свойства оценок |


Читайте также:
  1. Вот рассказ самого Вуда о том, что было, по всей вероятности, величайшим научным заблуждением нашей эпохи.
  2. Межпоездные интервалы в пакете
  3. Определение вероятности события
  4. Тема 8.6. ДНФ, интервалы и покрытия
  5. Формула полной вероятности
P д 0,7 0,75 0,8 0,85 0,9 0,95 0,98 0,99 0,995 0,997
aд 1,04 1,15 1,28 1,44 1,65 1,96 2,33 2,58 2,81 3,0

 

В большинстве случаев P д выбирают в соответствии с правилом "трех сигм": aд=3, P д=0,997≈1. Однако если трудоемкость моделирования имеет существенное значение, она может быть уменьшена за счет снижения доверительной вероятности. Так например, при P д=0,8 aд=1,28, и для обеспечения той же eдоп. потребуется в раз меньше опытов, чем при P д=0,997.

Для оценки математического ожидания (3.2) путем усреднения результатов n опытов в соответствии с законом больших чисел и центральной предельной теоремой аналогично (3.16), (3.17) можно получить:

,

где mx - математическое ожидание оценки, совпадающее с истинным математическим ожиданием исследуемой случайной величины x; - среднеквадратическое отклонение оценки; Dx – дисперсия случайной величины x.

При достаточно большом n погрешность e= mx-m * x удовлетворяет неравенству:

, (3.18)

а количество опытов, необходимых для обеспечения допустимой погрешности e доп ., равно:

. (3.19)

Отметим следующие особенности полученных результатов:

1. Из соотношений (3.16)-(3.19) хорошо видна "цена" точности статистического моделирования. Повышение точности в m раз требует увеличения количества опытов в m 2 раз.

2. Определяемое по (3.17), (3.19) количество опытов не гарантирует требуемую точность | e| < eдоп.. В строгом смысле никакое конечное количество опытов не может обеспечить такой гарантии, так как, с одной стороны, соотношения (3.16)-(3.19) соответствуют определенной доверительной вероятности P д<1, и с другой стороны, все полученные результаты основаны на теоретических соотношениях, справедливых для конечных n только с некоторой вероятностью.

3. В формулах (3.16)-(3.17) употребляется значение истинной вероятности p А, которое в рассматриваемой задаче заведомо неизвестно. В формулах (3.18), (3.19) применяется значение дисперсии Dx, которое также естественно предположить неизвестным. Следовательно, прямое использование соотношений (3.16)-(3.19) невозможно.

На практике эта проблема решается двумя способами.

Наиболее простой состоит в подстановке в (3.17) и (3.19) некоторых возможных значений p А и Dx, которые позволяют получить точность не хуже требуемой.

Для задачи оценки вероятности при фиксированной eдоп. зависимость n треб.(p А) имеет максимум при p А=0,5 (рис. 19). Следовательно, при выборе априорного значения p А=0,5 и в соответствии с (3.17) будет проведено опытов.

В задаче оценки математического ожидания для Dx априорно принимается некоторая экспертная оценка, соответствующая наибольшему ее возможному значению в рассматриваемой задаче.

При таком способе использования (3.17) и (3.19) для любого окончательного результата будет обеспечена точность не хуже заданной. Недостаток этого способа состоит в том, что трудоемкость эксперимента оказывается завышенной. Так например, если истинное значение p А=0,9, n треб. окажется завышенным в раза.

Если трудоемкость эксперимента имеет существенное значение, применяются итерационные алгоритмы получения оценок. Идея итерационных алгоритмов состоит в том, что определение точности и требуемого количества опытов проводится в ходе эксперимента на основе получаемых оценок искомых параметров.

Укрупненная блок-схема простейшего итерационного алгоритма приведена на рис. 20. Для задачи оценки вероятности алгоритм предусматривает:

1. Проведение начальной серии опытов объемом n и регистрацию количества случаев появления события A n А.

2. Вычисление оценки вероятности:

.

3. Получение оценки требуемого количества опытов:

.

4. Проведение дополнительной серии опытов объемом n'=n *трееб –n и регистрацию количества случаев появления события A n' А.

5. Уточнение оценки вероятности:

.

6. Оформление окончательных результатов.

Для задачи оценки математического ожидания случайной величины x предусматривается:

1. Проведение начальной серии опытов объемом n и накопление сумм:

, ,

где xi - реализации случайной величины x в отдельных опытах.

2. Вычисление оценок математического ожидания m * x и дисперсии D * x:

, . (3.20)

3. Получение оценки требуемого количества опытов:

.

4. Проведение дополнительной серии опытов объемом n'=n *трееб –n и накопление сумм:

, .

5. Уточнение оценок математического ожидания m * x и дисперсии D * x:

, .

6. Оформление окончательных результатов.

Отметим, что использование для оценки дисперсии соотношения (3.20), эквивалентного (3.9), исключает необходимость хранения всей получаемой в ходе эксперимента выборки значений x 1, x 2,…, xn,… и снижает требования к объему памяти применяемых вычислительных средств.

Рассмотренный способ получения оценок на основе итерационных алгоритмов обеспечивает некоторое снижение трудоемкости статистического моделирования, но также не свободен от недостатков.

Основная проблема здесь связана с тем, что результаты проводимых серий опытов складываются случайным образом и при конечных n возможны следующие эффекты:

1. Выборочный закон распределения может существенно отличаться от нормального.

2. Разброс составляющих выборку реализаций случайной величины может оказаться существенно меньше истинного ее разброса.

3. В выборке могут оказаться реализации случайной величины, значительно отличающиеся от ее среднего значения, в непропорционально большом количестве.

В первом случае соотношения (3.16)–(3.19) дадут неточные результаты. Чаще всего оценки требуемого количества опытов оказываются завышенными.

Во втором случае оценки требуемого количества опытов при использовании итерационных алгоритмов оказываются резко заниженными, а результаты моделирования – неточными. Во избежание подобных ситуаций рекомендуется выбирать объем начальной серии опытов не менее 100-500.

В третьем случае возможны завышенные оценки требуемого количества опытов с получением неточных результатов моделирования. Обнаружить такие ошибки можно только на основе независимого контрольного моделирования, например, с помощью других генераторов случайных чисел или с изменением их начальной установки.

Практика использования итерационных алгоритмов получения оценок позволяет рекомендовать в качестве наиболее надежного способа решения указанных проблем переход к интерактивным алгоритмам, предоставляющим пользователю необходимую информацию и возможность управления объемами дополнительных серий опытов.

Отметим также, что для малых выборок, например n ≤30, в математической статистике разработаны более точные способы определения допустимых (толерантных) интервалов значений оценки и соответствующих доверительных вероятностей, свободные от гипотезы о нормальном законе ее распределения [12, 35, 43].

 


Дата добавления: 2015-11-04; просмотров: 93 | Нарушение авторских прав


<== предыдущая страница | следующая страница ==>
Точность оценок и определение необходимого количества опытов| Пример использования метода Монте-Карло

mybiblioteka.su - 2015-2024 год. (0.009 сек.)