Контрольная работа. «Расчет Фермы»

«Расчет Фермы»

При выполнении контрольной работы студенты изучают методику расчета плоских стержневых конструкций, называемых фермами, которые широко используются при сооружении промышленных и гражданских зданий, мостов, опор линий электропередач, телевизионных вышек, мостовых и башенных кранов и т.п. Элементы конструкции (стержни) считаются абсолютно твердыми и невесомыми. Соединительные шарниры фермы называют узлами. Роль соединительных шарниров в реальных конструкциях выполняют болты или сварка. Заданные силы приложены только к узлам фермы, поэтому стержни воспринимают только растягивающие или сжимающие усилия, направленные вдоль осей стержней.

Пример расчета

К узлам полоской фермы (рис.1) приложены силы Р₁ = 2кН, Р₂ = 1кН и Р₃ = 10,5кН, угол наклона силы Р₁ к горизонту равен a = 60°. Размеры пролетов а = 3 м, h = 1,5 м.

Рисунок 1 – Исходные данные

4.1 Проверка фермы на жесткость

Подсчитывается количество узлов и стержней (стержни нумеруются арабскими цифрами, узлы – римскими (рис.2))

Ферма содержит 15 стержней и 9 узлов.

Условие жесткости

k = 2×n – 3,

(1)

где k – число стержней;

n – число узлов.

k = 2×9 – 3 = 15,

т.е. ферма является жесткой и статически определяемой.

Рисунок 2 – Проверка на жесткость

4.2 Определение опорных реакций

Выбираются координатные оси (рис.3)

Рисунок 3 – Выбор координатных осей

Опора «А» (см. рис.3) – шарнирно-неподвижная. Реакция шарнирно-неподвижной опоры приложена к оси шарнира и раскладывается на две составляющие по координатным осям Х_А и Y_A. Опора «В» (см. рис.3) – шарнирно-подвижная, ее реакция Y_В приложена к оси шарнира и направлена перпендикулярно опорной поверхности. Следуя принципу освобождаемости от связей, заменяем опоры на опорные реакции Х_А; Y_A и Y_В (рис.4).

Силу Р₁ заменяем на две взаимноперпендикулярные составляющие, Р₁×Sina и Р₁×Cosa параллельные координатным осям (рис.5).

Таким образом свободное тело – ферма находится под действием активных сил Р₁×Sina,Р₁×Cosa, Р₂, Р₃ и пассивных сил (реакций) Х_А, Y_A, Y_В. Для равновесия фермы необходимо, чтобы сумма всех сил действующих на ферму равнялась нулю. Т.е.

(2)

Рисунок 4 – Освобождение от связей

Рисунок 5 – Расчетная схема

Действующие на ферму силы лежат в одной плоскости. Для произвольной плоской системы сил

, где

(3)

- åF_X – сумма проекций всех сил на ось Х;

- åF_Y – сумма проекций всех сил на ось Y;

- åM_A(F_i) – сумма моментов всех сил относительно некоторой точки (удобнее всего выбрать точку «А», через которую проходит больше всего линий действия сил). Проецируя векторное равенство (2) на ось Х, получим

0 + Р1×Cosa - Р2 + ХА + 0 + 0 = 0

(4)

Проецируя векторное равенство (2) на ось Y, получим

- Р1×Sina + 0 + 0 - Р3 + 0 + YА + YB = 0

(5)

Моменты сил относительно точки А:

М_А(Р₁×Sina) = -Р₁×Sina×2а,

М_А(Р₁×Cosa) = -Р₁×Cosa×h,

М_А(Р₂) = Р₂×h,

М_А(Р₃) = -Р₃×a,

М_А(Х_А) = 0,

М_А(Y_А) = 0,

М_А(Y_B) = Y_B × 3a.

Исходя из условия равновесия (3)

-Р1×Sina×2а - Р1×Cosa×h + Р2×h - Р3×a + YB × 3a = 0

(6)

Из уравнения (6) определяем реакцию Y_B:

Из уравнения (4) определяем реакцию Х_А:

Х_А = Р₂ - Р₁×Cosa = 1 - 2× 0,5 = 0

Из уравнения (5) определяем реакцию Y_A:

Y_А = Р₁×Sina + Р₃ - Y_B = 2×0,866 + 10,5 – 6,98 = 5,25 кН

4.3 Проверочный расчет

Для проверки решения вычерчивается силовой многоугольник - в выбранном масштабе в соответствующем направлении изображаются все действующие на ферму активные (Р₁, Р₂, Р₃) и пассивные (Х_А, Y_A, Y_В) силы, таким образом, чтобы начало каждого последующего вектора совпадало с концом предыдущего (см. рис.6).

Силовой многоугольник замкнут, следовательно вычисления произведены верно.

Рисунок 6 – Силовой многоугольник

4.4 Определение усилий в стержнях

Для определения усилий в стержнях воспользуемся методом вырезания узлов.

Условно разрежем стержни 1 и 2 входящие в узел I на две части. Части стержней входящие в узлы II и III заменим реакциями стержней S₁ и S₂ (рис.7). Условно предполагаем все стержни растянутыми, т.е. реакции стержней направлены от узлов.

Кроме внутренних усилий в стержнях на узел действуют также соответствующие внешние активные (Р₁, Р₂, Р₃) и пассивные (Х_А, Y_A, Y_В) силы. Внешние силы вместе с реакциями стержней образуют в каждом узле плоскую систему сходящихся сил. Реакции стержня равны усилиям в стержнях.

Рассмотрим равновесие узла I (рис.8). Равновесие плоской системы сходящихся сил

(7)

Рисунок 7 – Вырезание узлов	Рисунок 8 – Расчетная схема узла I

С учетом (7), уравнения равновесия узла I

(8)

Расчет показывает, что стержни 1 и 2 не нагружены.

Аналогично вырезается узел II (см. рис.9).

С учетом (7), уравнения равновесия узла II

	(9)
	(10)

Так как любой стержень находится в равновесии, реакции частей стержня друг на друга равны, т.е.

S1 = -S’1

(11)

Угол b определяется по расчетной схеме фермы из прямоугольного треугольника А III IV (см. рис. 10)

Рисунок 9 – Расчетная схема узла II	Рисунок 10 – Определение угла b

Из уравнения (10) определяем S₃:

Результаты расчета заносятся в таблицу

Таблица 1 – Результаты расчета
Усилия, кН	ХА	YA	YB	S1	S2	S3
значения		5,25	6,98			-11,75

Анализ результатов расчета показывает, что опора А нагружена только вертикально, стержни 1 и 2 не нагружены, а стержень 3 испытывает сжимающее усилие.

---

Дата добавления: 2015-10-02