Определение функции нескольких переменных

Глава III. Дифференциальное исчисление

Функций нескольких переменных

Определение функции нескольких переменных

В практических задачах экономики, решаемых с использованием методов математического анализа, обычно функции зависят от нескольких переменных.

Например, в экономике часто используется функция Кобба-Дугласа

,

которая называется производственной функцией. Эта функция описывает зависимость объема производства Q от капитальных затрат К и трудовых ресурсов L. В этой функции А (А > 0) – параметр производительности конкретно взятой технологии, – доля капитала в доходе (0< a <1).

В экономических задачах так же часто используется функция прибыли, которая зависит от – объемов производства различных видов продукции, – цен на единицы этих видов продукции и затрат на производство

,

где - функция затрат.

Определение функции нескольких переменных. Переменная величина u называется функцией переменных величин с областью определения D и множеством значений E, если любой точке М (), принадлежащей области D, соответствует единственное значение u, принадлежащее множеству Е.

Записывают () или u= u( ).

Пример 3.1. Найти область определения D и множество значений Е функции .

Находим | ; .

Для простоты изложения обычно рассматривают функцию двух переменных. Обобщение результатов на большее число переменных не представляет труда.

Для изображения функции 2-х и 3-х переменных используют линии и поверхности уровня.

Рис. 46

Линией уровня функции называется множество точек плоскости , в которых функция имеет постоянное значение , с = const. Например, для функции линиями уровня являются окружности на плоскости (рис. 46).

Поверхностью уровня функции 3-х переменных называ-ется множество точек трехмерного пространства , в которых функция принимает постоянное значение, т. е. f = c, с = const.

Например, для функции поверхностями уровня являются сферы r = const.

Дата добавления: 2015-10-02