Внутри сферической поверхности

.

Рис.

2. Поле равномерно заряженного бесконечного цилиндра (нити).

Бесконечный цилиндр радиуса R заряжен равномерно с линейной плотностью t. Из соображений симметрии следует, что линии напряженности будут направлены по радиусам круговых сечений цилиндра с одинаковой густотой во все стороны относительно оси цилиндра. В качестве замкнутой поверхности построим коаксиальный цилиндр радиуса r и высоты l. Поток вектора напряженности электрического поля сквозь торцы коаксиального цилиндра равен нулю, а сквозь боковую поверхность равен 2 prlE. По теореме Остроградского-Гаусса при r > R

.

Откуда

, при r ³ R.

, при r < R.

Разность потенциалов между двумя точками, лежащими на расстояниях r ₁ и r ₂ от оси заряженного цилиндра (r₁ > R, r₂ > R, r₂ > r₁), равна

.

Рис.

3. Поле равномерно заряженной бесконечной плоскости.

Бесконечная плоскость (рис.) заряжена с постоянной поверхностной плотностью +s. Линии напряженности перпендикулярны рассматриваемой плоскости и направлены от нее в обе стороны. В качестве замкнутой поверхности мысленно построим цилиндр, основания которого параллельны заряженной плоскости, а ось перпендикулярна ей. Так как образующие цилиндра параллельны линиям напряженности (cosa = 0), то поток вектора напряженности сквозь боковую поверхность цилиндра равен нулю, а полный поток сквозь цилиндр равен сумме потоков сквозь его основания (площади оснований равны и для основании Е_n совпадает с Е), т. е. равен 2 ES. Заряд, заключенный внутри построенной цилиндрической поверхности, равен s S. Согласно теореме Остроградского-Гаусса, 2 ES= s S/e₀, откуда

.

Рис.

Из этой формулы вытекает, что Е не зависит от длины цилиндра, т.е. напряженность поля на любых расстояниях одинакова по модулю, иными словами, поле равномерно заряженной плоскости однородно.

Разность потенциалов между точками, лежащими на расстояниях x ₁ и x ₂ от плоскости, равна

.

4. Поле двух бесконечных параллельных равномерно заряженных плоскостей (рис.). Пусть плоскости заряжены равномерно разноименными зарядами с поверхностными плотностями + s и - s. Поле таких плоскостей найдем как суперпозицию полей, создаваемых каждой из плоскостей в отдельности. На рисунке верхние стрелки соответствуют полю от положительно заряженной плоскости, нижние - от отрицательной плоскости. Слева и справа от плоскостей поля вычитаются (линии напряженности направлены навстречу друг другу), поэтому здесь напряженность поли Е = 0.В области между плоскостями Е = Е₊ + Е_{-_} (Е₊ и Е_- определяются по формуле (), поэтому результирующая напряженность

.

Таким образом, результирующая напряженность поля в области между плоскостями описывается формулой (), а вне объема, ограниченного плоскостями, равна нулю.

Рис.

Разность потенциалов между плоскостями, расстояние между которыми равно d, равна

Выводы:

1. Напряженность электростатического поля в вакууме изменяется скачком при переходе через заряженную поверхность.

2. При переходе через границу области объемного заряда напряженность поля в вакууме изменяется непрерывно.

3. Потенциал поля всегда является непрерывной функцией координат.

---

Дата добавления: 2015-09-04