Алгоритм метода интервалов для выражений, содержащих модули.

1. На числовой прямой отметить все нули подмодульных выражений (на каждом из полученных промежутков все подмодульные выражения сохраняют знак).

2. Раскрыть модули на каждом из найденных промежутков, предварительно определяя знак каждого подмодульного выражения на рассматриваемом промежутке (например, можно подставить в это выражение какое-либо значение аргумента из этого интервала).

3. Дальнейшие действия зависят от решаемой задачи.

Пример 1. Решить неравенство

Решение. Так как и , то исходное неравенство эквивалентно неравенству или .

Исходное неравенство определено всюду и функция равна нулю в точках .

На числовой оси отмечаем нули функции. (Отметим, что функция существует для всех ).

Определим знаки .

Определяем знак функции , например, в точке . Имеем . Следовательно справа от точки функция . При переходе через точку функция свой знак не меняет, так как корень имеет четную кратность. Корень имеет нечетную кратность, поэтому при переходе через точку функция меняет свой знак.

Ответ: .

Пример 2. Используя метод интервалов, решить неравенство .

Решение. Рассмотрим функцию .

а) Так как , то .

Так как и при любых действительных значениях (дискриминант квадратного трехчлена отрицателен), то .

Исходное неравенство эквивалентно неравенству или .

б) являются корнями знаменателя функции , поэтому эта функцияопределена для .

в) являются корнями числителя функции . Это нули функции .

На числовой оси отмечаем область определения и нули этой функции.

г) Определяем знаки функции на интервалах знакопостоянства. (Можно, например, вычислить значения функции в точках , , , и .

В данном случае удобно исследовать знак функции , пользуясь замечаниями 2 и 3.

Определяем знак функции , например, в точке имеем . Следовательно, справа от точки функция . При переходе через точку функция свой знак не меняет, так как корень имеет четную кратность. Корни , , имеют нечетную кратность, поэтому на каждом из этих корней функция меняет свой знак.

д) Записываем ответ.

Ответ: .

Пример 3. Решить неравенство .
Решение. Введем обозначение . Очевидно, . Имеем или , откуда . Учитывая, что , имеем .

Решаем неравенство .

Логарифмируем обе части последнего неравенства по основанию 0.7.

Учитывая, что функция есть монотонно убывающая, имеем , откуда

Ответ: .

Пример 4. Решить неравенство .

Решение. Пусть . Тогда исходное неравенство может быть записано в виде , откуда или .

Последнее неравенство может быть записано в виде или . Учитывая, что есть монотонно убывающая функция, имеем , откуда .

Ответ: .

Пример 5. Решить неравенство: .

Решение. Первый способ. Так как то исходное неравенство равносильно совокупности двух систем неравенств:

а) и б)

Из системы а) имеем или .

Из системы б) имеем или .

Объединяя решения систем а) и б), имеем .

Ответ:

Второй способ.

а) Очевидно, что неравенство справедливо при , т. е. при .

б) При обе части исходного неравенства неотрицательны, поэтому , откуда или или или . Учитывая, что , имеем .

Объединяя а) и б) получим

Ответ:

Пример 6. Решить неравенство: .

Решение. Так как то исходное неравенство равносильно совокупности двух систем неравенств:

а) и б)

Из системы а) имеем (система неравенств несовместна, т.е. не имеет решения).

Из системы б) имеем или .

Объединяя решения систем а) и б), имеем .

Ответ:

Пример 7. Решить неравенство .

Решение. Применим метод интервалов для выражений, содержащих модули.

На числовой оси отметим нули подмодульных выражений ( и ).

На каждом из интервалов все подмодульные выражения сохраняют знак, поэтому исходное неравенство равносильно объединению трех систем:

а) б) в)

Система а) эквивалентна системе откуда и .

Система б) эквивалентна системе откуда Система б) несовместна.

Система в) эквивалентна системе откуда и .

Объединяя а), б) и в), имеем .

Ответ: .

Пример 8. Решить уравнение .

Решение. Данное уравнение равносильно совокупности двух уравнений и или и

Из имеем откуда

при , откуда и , где

Ответ: , ().

Дата добавления: 2015-09-02