Взаимное расположение точек и прямых на плоскости

Три точки , и лежат на одной прямой тогда и только тогда, когда выполняется условие

Отклонение точки от прямой Ax + By + C = 0 может быть найдено по формуле

где знак перед радикалом противоположен знаку C. Отклонение по модулю равно расстоянию между точкой и прямой; оно положительно, если точка и начало координат лежат по разные стороны от прямой, и отрицательно, если по одну сторону.

В пространстве расстояние от точки до прямой, заданной параметрическим уравнением

можно найти как минимальное расстояние от заданной точки до произвольной точки прямой. Коэффициент t этой точки может быть найден по формуле

Общее уравнение прямой:

Ах + Ву + С = 0,

где А и В не равны нулю одновременно.

Коэффициенты А и В являются координатами нормального вектора прямой (т.е. вектора, перпендикулярного прямой). При А = 0 прямая параллельна оси ОХ, при В = 0 прямая параллельна оси ОY.

При В 0 получаем уравнение прямой с угловым коэффициентом:

Уравнение прямой, проходящей через точку (х ₀ , у ₀) и не параллельной оси OY, имеет вид:

у – у ₀ = m (x – х ₀),

где m – угловой коэффициент, равный тангенсу угла, образованного данной прямой и положительным направлением оси ОХ.

При А 0, В 0 и С 0 получаем уравнение прямой в отрезках на осях:

где a = – C / A, b = – C / B. Эта прямая проходит через точки (a, 0) и (0, b), т.е. отсекает на осях координат отрезки длиной a и b.

Уравнение прямой, проходящей через две различные точки (х ₁, у ₁) и (х ₂, у ₂):

Параметрическое уравнение прямой, проходящей через точку (х ₀ , у ₀) и параллельной направляющему вектору прямой (a, b):

Условие параллельности прямых:

1) для прямых Ах+ Ву+ С = 0 и Dх+ Eу+ F = 0: AE – BD = 0,

2) для прямых у = m x+ k и у = p x+ q: m = p.

Условие перпендикулярности прямых:

1) для прямых Ах+ Ву+ С = 0 и Dх+ Eу+ F = 0: AD + BE = 0,

2) для прямых у = m x+ k и у = p x+ q: m p = – 1.

Расстояние между двумя точками (x ₁, y ₁) и(x ₂, y ₂):

Расстояние от точки (х ₀ , у ₀) до прямой Ах+ Ву+ С = 0:

Расстояние между параллельными прямыми Ах+ Ву+ С = 0 и Dх+ Eу+ F = 0:

Угол между прямыми:

---

Дата добавления: 2015-09-05