OX t (1

Правая часть равна полному дифференциалу df, и мы получаем, таким образом, геометрический смысл полного дифференциала функ­ции двух переменных: он равен приращению третьей координаты касательной плоскости (рис. 229).

Вычислим в качестве примера градиент центрально-симметричного поля u — f(r), где /•=! г 1= У х²-\-у*-\-г*. В этом случае поверхностями уровня

служат сферы с центром в начале козрдинат (почему?). Если взять две сферы, радиусы которых отличаются на dr, то значения функции I на них будут отличаться на df_:. Поэтому скорость изменения поля поперек поверхностей

уровня (т. е. вдоль радиусов) равна -~-, а потому

где г° = г/г--орт вектора г. (Получите (7) на основе определения (2).)

3. Неявные функции двух переменных. Неявные функции двух перемен­ных, о которых говорилось в начале п. IX.13, получают теперь новое,.осве­щение. Пусть уравнение

F(x,y,z) = 0 _tj (8)

рассматривается вблизи точки Л}₀ (*₀; </₀; z₀), в которой оно удовлетворяется. Это уравнение определяет в пространстве поверхность (L), проходящую через

точку Л4₀. Если при этом (-з—1 5^0 [см. условие (IX.16)], то (grad F)_Ma

в силу формулы (2) имеет составляющую по оси г. Тогда перпендикулярная к градиенту касательная плоскость к (L) проходит не вертикально, а значит (рис. 230), и прилегающая к ней вблизи М₀ поверхность (L) образует с осью 2 положительный угол. Поэтому вблизи М₀ уравнение (8) определяет зависи­мость г (х, у). Эта зависимость определяется только локально (т. е. вблизи М„ или, как говорят, «в малом»), так как если отойти подальше от М₀, то может оказаться, что при некоторых значениях х, у получится несколько значений г или ни одного значения г (см. рис. 230). Отметим, что условие существования системы неявных функций, рассмотренное в п. IX.13, также гарантирует существование этих функций, вообще говоря, лишь локально.

Если (а—) =0, то касательная плоскость к (L) расположена в рассмат­риваемой точке вертикально, как в точке N₉. Тогда может получиться, что даже в чрезвычайной близости от Л^р уравнение (8) не определяет однознач­ной функции г (х, у); так, вблизи Л„ при одних х, у получается два значе­ния г, а при других —ни одного, так как поверхность (L) «заворачивается».

dF Однако, если в /V₀₎ например, ^— ф 0, то вблизи этой точки уравнение (8)

определяет функцию у (х, г). Только в тех точках поверхности (L), в которых

£-0; <* О, ^ = 0, (9)

дх ду dz

может случиться, что уравнение (8) не определяет, даже локально, одну из координат как функцию остальных.

Точки, в которых удовлетворяются условия (9), называются особыми точками поверхности (L). Большинство поверхностей не имеет особых точек так как получаемая для их отыскания система

четырех уравнений, (8) и (9), с тремя неизвест­ными, как правило, несовместна. Из наиболее известных поверхностей особой точкой обладают только конические поверхности: у них особая точка в вершине!

4. Плоские поля. Все понятия, введенные для пространственного поля, переносятся с соответствующими упрощениями на пло­ские поля (см. конец п. IX.9). Так, градиент

поля и(х,у), grada = ^i-f~j представ­ляет собой вектор, лежащий в плоскости х, у.

В каждой точке градиент поля нормален линии уровня поля, т. е. линии и (х, у) = const, проходящей через эту точку (рис. 231). При

этом из смысла градиента вытекает, что его модуль приближенно обратно пропорцио­нален расстоянию между линиями уровня: там, где линии сближаются, градиент длиннее. Уравнение касательной к линии

/(*,</) = 0 (10)

имеет вид (5), но, естественно, без треть­его слагаемого.

а) Изолированная точка!

б) точка самопересечения;

в) точка возврата|

.. Уравнение (10) локально определяет функцию у (х), если ['_у •£ 0. Особые точки на линии (10)—это точки, в которых

4=о _й /;=о. (П)

Если на минуту представить себе поверхность (/.) с уравнением z — f(x, у), то линия (10) получается в результате пересечения (L) с плоскостью 2 = 0. Если в какой-либо точке выполнены условия (10) и (П), то из формулы (6) следует, что в этой точке указанная плоскость касается поверхности (L). В п. 9 будет показано, какой вид имеет линия пересечения поверхности со своей касательной плоскостью вблизи точки касания. Оказывается, что обычно ocoi бые точки линии являются изолированными точками, точками самопересе­чения или, реже, точками возврата (рис. 232).

5. Огибающая однопараметрического семейства линий. Пусть рассматри­вается семейство линий, зависящих от одного параметра С (однопараметри-ческое семейство). Уравнение этих линий можно записать в общем виде:

F(x,y;Q = 0, (12)

причем при каждом конкретном С получается индивидуальная линия из семей­ства. Часто бывает, что в некоторых частях плоскости эти линии расположены наподобие того, как показано на рис. 233; в этом случае семейство имеет оги­бающую^, т. е. линию (как правило, в семейство не входящую), каждой точки которой касается одна из линий семейства. Чтобы найти уравнение огибаю­щей, заметим, что каждая ее точка принадлежит одной из линий семейства, т. е. в каждой такой точке удовлетворяется уравнение (12), однако величина

С будет по мере движения по огибаю­щей меняться, С — С(х). Дифференци­руя по х равенство (12) «вдоль огибаю­щей», получим

^p'_x+^F'_yy₀™_&+F'c^c'_x=^Q- (13)

Здесь г/_огид—угловой коэффициент оги­бающей в ее произвольной точке М. Но в этой точке огибающей касается одна из линий семейства, которая, сле-

довательно, имеет такой же угловой коэффициент, т. е. (/_линии = г/_ш-_иб; у'_ЛИИ находится из уравнения (12) дифференцированием при фиксированном С:

^/7*+^/^'ли_НИи = °- (И)

Из (13) и (14) видим, что F'_CC'_X = 0, но, как было сказано, величина С (х) пе­ременная, т. е. С'_хф 0, а потому

F'_c(x, у; С) = 0. (15)

Итак, для точек огибающей наряду с (12) выполняется соотношение (15). Исключая из этих двух уравнений С, получим уравнение огибающей.

Пример. Рассмотрим семейство траекторий полета снаряда в предполо­жениях примера 1 п. II.6 при заданной начальной скорости t<₀ и различных углах бросания а. Здесь параметром семейства служит а, и поэтому для нахождения огибающей (рис. 234) продифференцируем уравнение семейства [уравнение (11.11)] по а:

и

Если отсюда выразить tg а и подставить его в уравнение семейства, то полу­чится уравнение огибающей

Значит, огибающей служит парабола, называемая параболой безопасности (почему?).

Приведем еще пример. Так как все нормали к эвольвенте касаются эво­люты (п. VII.26), то эволюта является огибающей семейства всех нормалей к эвольвенте. Отсюда вытекает способ приближенного построения эволюты: надо построить несколько нормалей к эвольвенте, а затем навести их оги­бающую.

Следует иметь в виду, что если линии рассматриваемого семейства имеют особые точки (см. п. 4), то, исключая С из (12) и (15), мы наряду с огибаю­щей получим линию особых точек (рис. 235). Действительно, как мы видели в п. 4, для таких точек F_x~F_y = 0, a потому из (13) вытекает (15), даже

если ^_{линии ос т}очек ^ ^линии семейства'

Дата добавления: 2015-08-27