Границя функції

Нехай функція y = f (x) визначена в деякому околі О(x ₀) точки x ₀ за винятком, можливо, самої точки x ₀. Тоді число А називають границею функції f у точці x ₀ і записують = А, якщо = А для довільної послідовності (x_n), що володіє властивостями:

1) x_n ÎО(x ₀) " n Î N; 2) x_n ¹ x ₀ " n Î N; 3) = x ₀.

Зауваження 1. В означенні границі функції x ₀ і А можуть бути як скінченними так і нескінченно віддаленими точками.

Зауваження 2. Існування чи не існування границі функції в точці x ₀ та значення границі в цій точці не залежить від того, визначена функція f у точці x ₀ чи ні, а якщо визначена, то чому дорівнює значення функції в цій точці.

Суть поняття границі функції в точці. Число А (скінченне або нескінченно віддалене) є границею функції f у точці х ₀, якщо значення функції f (x) як завгодно близько наближаються до А, коли значення аргументу х досить близько наближають до х ₀ і х ¹ х ₀. Отже,

Û f (x)» А, коли х» х ₀ і х ¹ х ₀.

Якщо в означенні границі функції в точці взяти послідовність (x_n) такою, що x_n < x ₀ " n Î N, то тоді число А називають лівою границею функції f у точці x ₀ і позначають = А або , а якщо x_n > x ₀ " n Î N, то тоді число А називають правою границею функції f у точці x ₀ і позначають = А або .

Для того щоб у точці x ₀ існувала границя функції f необхідно і достатньо, щоб у цій точці існувала права і ліва границі цієї функції і щоб вони були рівними між собою.

Умови неіснування границі функції f в точці x ₀. Нехай функція f визначена в деякому околі О(x ₀) точки x ₀ за винятком, можливо, самої точки x ₀. Тоді в цій точці границя функції f не існує, якщо існують принаймні дві такі послідовності (x_n) і (), що:

1) x_n, ÎО(x ₀) " n Î N; 2) x_n ¹ x ₀ і ¹ x ₀ " n Î N; 2) = x ₀ і = x ₀,

але

¹ .

Дата добавления: 2015-08-26