Кинематика материальной точки

1. Что такое материальная точка?

Материальной точкой называют физическое тело, размерами которого в данной задаче можно пренебречь.

2. Что такое относительность движения?

Относительность движения означает, что говорить о движении какого-либо определенного тела бессмысленно, если не указать – относительно каких других тел (которые считаются неподвижными) движется интересующее нас тело.

3. Что такое система отсчета, система координат, координата?

Какое-либо тело (или какую-либо точку тела, если тело нельзя рассматривать как материальную точку), которое в данной задаче считается неподвижным, выбираем за начало системы отсчета, относительно которого определяется положение движущихся тел.

Способ определения положения тела зависит от выбора системы координат; в дальнейшем будем использовать прямоугольную (декартову) систему координат – три взаимно перпендикулярные прямые, пересекающиеся в точке, принятой за начало системы отсчета. Необходимы именно три прямые, поскольку мы живем в трехмерном пространстве.

Для определения положения материальной точки выполняем следующую процедуру: из материальной точки опускаем перпендикуляры на координатные оси и измеряем длины отрезков от точки пересечения перпендикуляров с координатными осями до точки, принятой за начало системы отсчета. Длинам этих отрезков приписываем положительный или отрицательный знаки в зависимости от того, на положительную или отрицательную полуоси попадают опущенные перпендикуляры. Полученные значения называются координатами материальной точки. Исторически три координаты материальной точки принято обозначать латинскими буквами x, y, z.

Координаты точки имеют размерность длины.

4. Что такое трехмерный вектор какой-либо физической величины?

Предварительное замечание: речь идет именно о трехмерном векторе, поскольку мы живем в трехмерном пространстве.

Трехмерный вектор физической величины А это направленный отрезок (стрелка), длина и направление которого задаются тремя числами – проекциями вектора А на три координатные оси (предполагается, что система координат у нас имеется).

Чтобы определить эти проекции, надо выполнить следующую процедуру: а) параллельным переносом совмещаем начало вектора А с началом системы координат;

б) опускаем перпендикуляры из конца вектора А на координатные оси X, Y, Z;

в) измеряем длину отрезка на каждой координатной оси от начала системы координат до точки пересечения перпендикуляра с координатной осью – при этом длина отрезка измеряется в тех единицах, в которых измеряется физическая величина А;

г) приписываем знак длине отрезка – положительный, если перпендикуляр попадает на положительную координатную полуось, и отрицательный, если перпендикуляр попадает на отрицательную полуось;

д) три полученных таким образом числа называем проекциями вектора физической величины А на оси координат и обозначаем как A_x, A_y, A_z;

е) длина (модуль) вектора А равна (A_x ²+ A_y ²+ A_z ²)^1/2.

5. Действия над векторами – умножение на число, сложение, вычитание.

В результате умножения вектора А на число К получаем вектор В = К А, проекции которого определяются следующим образом: B_x = KA_x,B_y = KB_y, B_z = KA_z.

В результате сложения векторов А и В получаем вектор С = А + В, проекции которого определяются следующим образом: C_x = A_x + B_x,C_y = A_y + B_y, C_z = A_z + B_z. Чтобы изобразить эту же операцию графически, надо параллельным переносом совместить начало вектора В с концом вектора А и соединить стрелкой начало вектора А с концом вектора В.

В результате вычитания векторов А и В получаем вектор С = А - В, проекции которого определяются следующим образом: C_x = A_x - B_x,C_y = A_y - B_y, C_z = A_z - B_z. Чтобы изобразить эту же операцию графически, надо параллельным переносом совместить начало вектора В с началом вектора А и соединить стрелкой конец вектора В с концом вектора А.

6. Что называется радиусом-вектором материальной точки?

Радиусом-вектором материальной точки с координатами x, y, z называется вектор r, проекции которого определяются следующим образом: r_x = x, r_y = = y, r_z = z.

Графически радиус-вектор изображается как вектор, начало которого совпадает с началом системы координат, а конец совпадает с точкой с координатами x, y, z.

7. Что такое перемещение материальной точки?

Перемещением материальной точки за время ∆ t= t₂–t₁ называется вектор ∆ r, проекции которого определяются следующим образом:

∆ r_x = x₂ - x₁,

∆ r_y = y₂ -y₁,

∆ r_z = z₂ - z₁.

Здесь x₁, y₁, z₁ – координаты материальной точки в момент времени t₁; x₂, y₂, z₂ – координаты материальной точки в момент времени t₂.

Графически перемещение материальной точки изображается как вектор, начало которого находится в точке пространства с координатами x₁, y₁, z₁, а конец - в точке пространства с координатами x₂, y₂, z₂.

Кроме того, согласно определению разности векторов, перемещение материальной точки можно определить как разность радиусов-векторов r ₂, r ₁:

∆ r = r ₂ - r ₁.

Здесь r ₁ – радиус-вектор материальной точки в момент времени t₁; r ₂ –радиус-вектор материальной точки в момент времени t₂.

8. Что называется средней скоростью материальной точки?

Средней скоростью материальной точки на временном интервале ∆ t = t₂–t₁ называется векторная величина v _ср, определяемая как отношение перемещения ∆ r к временному интервалу ∆ t, в течение которого совершается это перемещение:

v _ср = ∆ r /∆ t.

Согласно определению операции деления вектора на число, проекции вектора средней скорости определяются следующим образом:

(v_cp) _x = ∆ r_x/ ∆ t = (x₂ - x₁)/(t₂–t₁),

(v_cp) _y = ∆ r_y/ ∆ t = (y₂ - y₁)/(t₂–t₁),

(v_cp) _z = ∆ r_z/ ∆ t = (z₂ - z₁)/(t₂–t₁).

Здесь x₁, y₁, z₁ – координаты материальной точки в момент времени t₁; x₂, y₂, z₂ – координаты материальной точки в момент времени t₂.

9. Что называется мгновенной скоростью материальной точки?

Мгновенной скоростью материальной точки в момент времени t₁ называется векторная величина v, определяемая как средняя скорость на минимально возможном временном интервале ∆ t:

v = lim_{∆ t→0} (∆ r /∆ t).

Проекции вектора мгновенной скорости определяются следующим образом:

v_x = lim_{∆ t→0} (∆ r_x/ ∆ t) = lim _t2→t1 (x₂ - x₁)/(t₂–t₁) = dx / dt,

v_y = lim_{∆ t→0} (∆ r_y/ ∆ t) = lim _t2→t1 (y₂ - y₁)/(t₂–t₁) = dy/dt,

v_z = lim_{∆ t→0} (∆ r_z/ ∆ t) = lim _t2→t1 (z₂ - z₁)/(t₂–t₁)= dz/dt.

Здесь x₁, y₁, z₁ – координаты материальной точки в момент времени t₁; x₂, y₂, z₂ – координаты материальной точки в момент времени t₂; dx / dt, dy/dt, dz/dt –производные по времени t от функций x(t), y(t), z(t), вычисленные при t=t₁.

10. Что называется средним ускорением материальной точки?

Средним ускорением материальной точки на временном интервале ∆ t = t₂–t₁ называется векторная величина а _ср, определяемая как отношение изменения мгновенной скорости ∆ v = v ₂– v ₁ к временному интервалу ∆ t:

а _ср = ∆ v /∆ t.

Здесь v ₂, v ₁ – векторы мгновенной скорости соответственно в моменты времени t₂, t₁.

Проекции вектора среднего ускорения определяются следующим образом:

(а_ср) _х = [ v_x (t₂) - v_x (t₁)]/(t₂–t₁),

(а_ср) _y = [ v_y (t₂) - v_y (t₁)]/(t₂ – t₁),

(а_ср) _z = [ v_z (t₂) - v_z (t₁)]/(t₂ – t₁).

11. Что называется мгновенным ускорением материальной точки?

Мгновенным ускорением материальной точки называется векторная величина а, определяемая как среднее ускорение на минимально возможном временном интервале ∆ t:

а = lim_{∆ t→0} ∆ v /∆ t.

Проекции вектора мгновенного ускорения определяются следующим образом:

а_х = lim _t2→t1 [ v_x (t₂) - v_x (t₁)]/(t₂–t₁)= dv_x/dt,

а_y = lim _t2→t1 [ v_y (t₂) - v_y (t₁)]/(t₂ – t₁) = dv_y/dt,

а_z = lim _t2→t1 [ v_z (t₂) - v_z (t₁)]/(t₂ – t₁) = dv_z/dt.

Здесь dv_x/dt, dv_y/dt, dv_z/dt – производные по времени t от функций v_x (t), v_y (t), v_z (t) соответственно.

Дата добавления: 2015-08-27