Задание 4

Найти линию, у которой любая касательная пересекается с осью ординат в точке, одинаково удаленной от начала координат и от точки касания.

Решение

Произведем разбор условия задачи

x

y

M(x;y) – текущая точка искомой линии

А

касательная к искомой линии

А – точка пересечения с осью ординат касательной, проведенной в произвольно выбранной точке (х,у) искомой линии.

По условию задачи |AM|=|AO| для любой точки M (x,y) искомой линии.

Требуется найти линию в виде её уравнения у = у (х) или F (х,у) = 0.

Составим математическую модель к данной задаче:

Искомую функцию у = у(х) нужно находить из условия |AM|=|AO| => надо составить уравнение касательной к линии и находить координаты её точки А.

Используем теоретическое уравнение касательной к линии y=y (x) в её фиксированной точке М (x₀,y₀):

x

y

(x₀,y₀)

(х,у)

y-y₀=у’_x (х₀) (х-х₀)  

(х₀,у₀) – точка касания (х,у) – текущая точка на касательной

y=у (х)

В решаемой задаче уравнение касательной запишем в следующем виде:

. , где

() – координаты точки касания;

() – текущая точка на касательной.

Для нахождения ординаты точки А нужно в уравнении касательной положить и , в результате получим: .

Расстояние |AM| и |AO| найдем по известной формуле для расстояния между двумя точками на плоскости:

|AM| = => |АМ|= = ;

|AO| = = ;

| AM |=| AO | => | AM |²=| AO |² => .

Таким образом, математической моделью решаемой задачи является составленное дифференциальное уравнение 1-го порядка относительно функции

Требуется найти общее решение этого ДУ.

Дата добавления: 2015-08-26