Студопедия
Случайная страница | ТОМ-1 | ТОМ-2 | ТОМ-3
АрхитектураБиологияГеографияДругоеИностранные языки
ИнформатикаИсторияКультураЛитератураМатематика
МедицинаМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогика
ПолитикаПравоПрограммированиеПсихологияРелигия
СоциологияСпортСтроительствоФизикаФилософия
ФинансыХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника

Теоретическое введение

Читайте также:
  1. I. Введение
  2. I.Введение.
  3. II. Введение в историю студенческих игр
  4. А78. Введение ядра соматической клетки в энуклеированную яйцеклетку амфибий, рыб, насекомых приводит к появлению нормального организма в случае
  5. Введение
  6. Введение
  7. ВВЕДЕНИЕ

Министерство образования и науки Российской Федерации

Федеральное государственное бюджетное образовательное

учреждение высшего профессионального образования

 

Ивановский государственный энергетический университет

имени В.И. Ленина»

 

Кафедра теоретических основ теплотехники

 

Расчётно-графическая работа по ТМО в ЯЭУ

 

Вариант №7

Цилиндр

 

 

Выполнил: студент гр. 3-11х

Н.М. Попов

Принял: доцент

Ю.С. Солнышкова

Оценка ___________

 

Иваново 2014

Теоретическое введение

 

Дифференциальное уравнение теплопроводности в векторной форме:

.

При стационарном процессе теплопроводности температурное поле не изменяется во времени, следовательно, и дифференциальное уравнение Фурье принимает вид:

.

При допущении , дифференциальное уравнение теплопроводности упрощается:

.

Раскрывая значение для тел простейшей (классической) формы получаем:

;

или в дивергентной форме

.

 

Теплопроводность неограниченного однородного цилиндрического стержня

Температурное поле при охлаждении неограниченного цилиндра с внутренними источниками теплоты изображено на рис. 2.

R  
R  
r  
-r  
T, °C    
Tw  
Tw  
Tf  
Tf  
Tc  
a  
a  
Q
Q

 

Рис. 1. Температурное поле в неограниченном цилиндре при действии равномерно распределенных внутренних источников теплоты

Для определения температурного поля и теплового потока в цилиндре необходимо задать геометрию расчетной области (коэффициент формы тела k = 2 и размер расчетной области R=D/2, где D – диаметр цилиндра), коэффициент теплопроводности материала цилиндра l, мощность внутренних источников теплоты qv, температуру теплоносителя Tf и коэффициент теплоотдачи a от поверхности цилиндра к текучей среде. Краткая форма записи исходных и искомых величин имеет вид:

Дано:k = 2; ; l; qv; a; Tf;

Найти: T(r); Tc; Tw; DT; Q(r); q l

 

где rц – радиус цилиндра; Tc и Tw – температура оси и поверхности цилиндра; DT – перепад температур по сечению цилиндра; q l – линейная плотность теплового потока.

 

Математическая формулировка задачи

 

Дифференциальное уравнение теплопроводности:

;

или в дивергентной форме

(1)

Граничные условия:

; (2)

. (3)

 

Метод решения

 

Метод решения – аналитический метод разделения переменных. Предварительно умножим на «r» все члены дифференциального уравнения (II.1), записанного в дивергентной форме. Получим:

. (4)

Разделяем переменные и интегрируем первый раз:

.

Получаем:

. (5)

Делим на «r» все члены дифференциального уравнения (II.5):

или

. (6)

Разделяем переменные и, интегрируя второй раз, находим общий интеграл дифференциального уравнения теплопроводности (II.1):

;

(7)

Находим постоянные интегрирования С1 и С2. Для этого применим граничные условия (II.2) и (II.3). Из граничного условия на оси цилиндра и выражения (II.5) следует, что С1 = 0. Тогда общее решение (II.7) примет вид:

. (8)

Из последнего выражения, записанного для поверхности цилиндра ( и ) имеем:

. (9)

Подставляя С2 в общий интеграл (II.8), получаем решение дифференциального уравнения теплопроводности (II.1) при граничных условиях I рода:

. (10)

Из уравнения граничных условий III рода (II.3) выразим температуру на внешней границе цилиндра. Получим:

. (11)

Значение производной температуры на поверхности цилиндра () найдем из выражения (II.6) с учетом С1 = 0:

. (12)

Подставляя (II.12) в (II.11), находим температуру на поверхности цилиндра:

. (13)

И, подставляя выражение (II.13) в формулу (II.10), окончательно получим решение дифференциального уравнения теплопроводности (II.1) при граничных условиях третьего рода:

(14)

Из уравнения (II.14) видно, что температура по сечению цилиндра изменяется по закону параболы. Температуру в тепловом центре цилиндра рассчитывают по формуле, полученной из выражения (II.14) при r = 0:

(15)

Перепад температур по сечению цилиндра равен:

(16)

Тепловой поток найдем, используя закон Фурье и уравнение температурного поля (II.14):

. (17)

Тепловой поток, уходящий с поверхности цилиндра равен:

, (18)

где V – объем, м3; – длина (высота) цилиндра, м.

Линейная плотность теплового потока на поверхности цилиндра равна:

. (19)

Плотность теплового потока на поверхности цилиндра равна:

 

. (20)

 

Температурное поле цилиндра при граничных условиях

I рода

 

Теплообмен при граничных условиях первого рода является частным случаем теплообмена при граничных условиях третьего рода. При и получаем:

. (21)

. (22)

. (23)

 


Дата добавления: 2015-08-17; просмотров: 55 | Нарушение авторских прав


<== предыдущая страница | следующая страница ==>
На фото справа: Выступление народов Чувашии| Решение

mybiblioteka.su - 2015-2024 год. (0.01 сек.)