Читайте также:
|
Рассмотрим, какие РС-коды можно построить над расширенным полем GF (22). Определяем длину кодовой комбинации: N= q–1=3. Зададимся кодовым расстоянием D =2. Для его реализации необходима избыточность N–K=D–1 =1. Если необходимо обеспечить D =3, то следует задать избыточность N – K =2.
Таким образом, над GF (22) можно построить РС-коды (3,2) с D =2 и (3,1) с D =3. Для РС-кода (3,2) порождающий многочлен на основании определения РС-кода равен
g (x) = x – α
GF (22) является расширением поля GF (2), поэтому знак «–» в g (x) следует заменить на «+» как символ операции сложения в GF (2), т.е. следует принять g(x) = x + α.
Порождающая матрица этого кода имеет вид:
.
РС-код (3,2) над GF (22) содержит qk =42=16 разрешенных комбинаций. Они имеют вид:
Каждая комбинация представляет собой многочлен степени 2 или менее. Выше указаны последовательности коэффициентов каждой из кодовых комбинаций в предположении, что коэффициенты старших степеней находятся справа, т.е. информационные элементы занимают две позиции справа, а избыточный элемент – крайнюю слева.
Например, комбинация 1 представляется многочленом: α+ x, комбинация 2 – α2+αx, …, комбинация 4 - α x + x 2,…, комбинация 14 – α2+α2 x +α2 x 2.
Проследим формирование избыточных элементов для комбинаций 1 и 14.
Комбинация 1: информационные элементы имеют вид – х, следовательно,
x x+α
x+α 1
α - остаток, т.е. избыточный элемент.
Комбинация 14: информационные элементы имеют вид – α2 x +α2 x 2, следовательно,
α2x2+α2x x+α
α2x2+α3x α2x+α
α3x+α2x=x+α2x=αx
αx+α2
α2- остаток, т.е. избыточный элемент.
При выполнении действий над элементами поля GF (22) полезно помнить, что оно построено по модулю неприводимого примитивного многочлена П(α)=1+α+α2=0. Ниже представлены все ненулевые элементы этого поля, являющиеся корнями многочлена x 3+1:
α0=α3=10=1,
α1=01=α,
α2=11=1+α.
РС-код (3,1) над полем GF (22) с D =3 содержит 4 комбинации, каждая из которых содержит трехкратное повторение одного из элементов GF (22):
0 0 0, 1 1 1, α α α, α2α2α2.
Справедливость этого утверждения проверить самостоятельно.
Дата добавления: 2015-08-02; просмотров: 41 | Нарушение авторских прав
| <== предыдущая страница | | | следующая страница ==> |
| Определение и основные свойства | | | Пример 7.2 |