6268. Вычислить среднее значение энергии нулевых колеба
ний, приходящейся на один осциллятор кристалла в модели
Дебая, если дебаевская температура кристалла равна в.
6269. Оценить энергию нулевых колебаний моля алюминия,
если межатомное расстояние а»0,3 нм и скорость распростране
ния акустических колебаний i>«4 км/с.
6270. Изобразить спектр распределения энергии колебаний
кристалла по частотам (без учета нулевых колебаний).
Рассмотреть два случая: Г=в/2 и Г=в/4, где в - дебаевская температура.
6271. Оценить максимальные значения энергии и импульса
фонона (звукового кванта) в меди, дебаевская температура
которой равна 330 К.
6272. Кристалл состоит из N одинаковых атомов. Его
дебаевская температура равна в. Найти число фононов в
интервале частот (to, co+dw) при температуре Т.
6273. Оценить фононное давление в меди при температуре
Т, равной ее дебаевской температуре в=ЗЗО К.
6274. Найти с помощью формулы (6.7д) при Г-0:
а) максимальную кинетическую энергию свободных электронов в металле, если их концентрация равна и;
б) среднюю кинетическую энергию свободных электронов, если их максимальная кинетическая энергия равна К^^.
6275. Найти относительное число свободных электронов в
металле, энергия которых отличается от энергии Ферми не
более чем на п = 1»0%» если температура Г=0.
6276. Сколько процентов свободных электронов в металле
при Г=0 имеют кинетическую энергию, превышающую полови
ну максимальной?
6277. Найти число свободных электронов, приходящихся на
один атом натрия при Г=0, если уровень Ферми £F=3,07 эВ.
Плотность натрия считать известной.
6278. До какой температуры надо было бы нагреть класси
ческий электронный газ, чтобы средняя энергия его электронов
оказалась равной средней энергии свободных электронов в меди
при Г=0? Считать, что на каждый атом меди приходится один
свободный электрон.
6279. Вычислить интервал (в электронвольтах) между
соседними уровнями свободных электронов в металле при
Т=0 вблизи уровня Ферми, если концентрация свободных
электронов и =2,0'lO22 см"3 и объем метала F=l,0 см3.
6280. Воспользовавшись (6.7д), найти при Т=0:
а) распределение свободных электронов по скоростям;
б) отношение средней скорости свободных электронов к их
максимальной скорости.
6281. Оценить минимальную дебройлевскую длину волны
свободных электронов в металле при Г=0, полагая, что металл
содержит по одному свободному электрону на атом, а его
решетка является простой кубической с периодом а.
6282. Квантовые свойства свободных электронов в металле
становятся существенными, когда их дебройлевская длина
волны оказывается сравнимой с постоянной решетки. Оценить
из этих соображений температуру вырождения Т электронного газа в меди.
6283. Исходя из формулы (6.7д), найти функцию распределе
ния свободных электронов в металле при Г=0 по дебройлев-
ским длинам волн.
6284. Вычислить давление электронного газа в металличес
ком натрии при Т=0, если концентрация свободных электронов
в нем п=2,5 1022 см"э. Воспользоваться уравнением для давления идеального газа.
6285. Имея в виду, что средняя энергия свободного электро
на в металле при температуре Г определяется как
1 + (5n2ll2)(kTIEF)2],
найти для серебра, дебаевская температура которого 210 К и энергия Ферми EF=5,5 эВ, отношение теплоемкости электронного газа к теплоемкости решетки при Г=300 К.
| in б |
| \ | |||||||||
| \ | |||||||||
| \ | |||||||||
| \ | |||||||||
| \ | |||||||||
| \ | |||||||||
| \ | |||||||||
| \ | |||||||||
| —. | ----, | ---- | ■—- | ---- 1 | —■— |
| Г/Т |
| J |
| Рис. 6.7 |
6286. Повышение температуры катода в электронной лампе
от значения Г=2000 К на ДГ=1,0 К увеличивает ток насыще
ния на т] = 1,4%. Найти работу выхода электрона.
6287. Найти коэффициент преломления металлического
натрия для электронов с кинетической энергией ЛГ=135 эВ.
Считать, что на каждый атом натрия приходится один
свободный электрон.
6288. Найти минимальную энергию образования пары
электрон — дырка в беспримесном полупроводнике, проводи
мость которого возрастает в т] = 5,0 раз при увеличении
температуры от Г,=300 К до Г2=400 К.
6289. При очень низких температурах красная граница фо
топроводимости чистого беспримесного германия Аж=1,7мкм.
Найти температурный коэффициент сопротивления данного
германия при комнатной температуре.
6290. На рис. 6.7 по
казан график зависимос
ти логарифма проводи
мости от обратной темпе
ратуры (Г,хК) для неко
торого полупроводника
n-типа. Найти с помо
щью этого графика ши
рину запрещенной зоны
полупроводника и энер
гию активации донорных
уровней.
6291. Удельное сопро
тивление некоторого чис
того беспримесного по- Q ■/
лупроводника при ком
натной температуре р =
=50 Ом-см. После включения источника света оно стало pj=40 Ом*см, а через t=S мс после выключения источника света удельное сопротивление оказалось р2=45 Ом-см. Найти среднее время жизни электронов проводимости и дырок.
6292. При измерении эффекта Холла пластинку из полупро
водника /»-типа ширины h = 10 мм и длины /=50 мм поместили
в магнитное поле с индукцией В=5,0 кГс. К концам пластинки
приложили разность потенциалов 1/=10 В. При этом холлов-ская разность потенциалов UH=50 мВ и удельное сопротивление р=2,5 Ом-см. Найти концентрацию дырок и их подвижность.
6293. При измерении эффекта Холла в магнитном поле с
индукцией В=5,0 кГс поперечная напряженность электрического
поля в чистом беспримесном германии оказалась в т] = 10 раз
меньше продольной напряженности электрического поля. Найти
разность подвижностей электронов проводимости и дырок в
данном полупроводнике.
6294. В некотором полупроводнике, у которого подвижность
электронов проводимости в л =2,0 раза больше подвижности
дырок, эффект Холла не наблюдался. Найти отношение
концентраций дырок и электронов проводимости в этом
полупроводнике.
6.8. Жидкости. Капиллярные явления
• Добавочное (капиллярное) давление в жидкости под произвольной поверхностью (формула Лапласа):
J±±\ (6.8 а)
где а - поверхностное натяжение жидкости.
• Приращение свободной энергии поверхностного слоя жидкости:
(6.8 6)
где dS — приращение площади поверхностного слоя.
• Тепло, необходимое для образования единицы площади поверхностного слоя жидкости при изотермическом увеличении ее поверхности:
6295. Найти капиллярное давление:
а) в капельках ртути диаметра </=1,5 мкм;
б) внутри мыльного пузырька диаметра d=3,0 мм, если
поверхностное натяжение мыльной воды а=45мН/м.
6296. В дне сосуда со ртутью имеется круглое отверстие
диаметра d=70 мкм. При какой максимальной толщине слоя
ртути она еще не будет вытекать через это отверстие?
6297. В сосуде с воздухом при давлении р0 находится
мыльный пузырек диаметра d. Давление воздуха изотермически
уменьшили в п раз, в результате чего диаметр пузырька
ззо
увеличился в т\ раз. Найти поверхностное натяжение мыльной воды.
6298. На плоский каркас натянута мыльная пленка. На ней
находится петля из нити. После того как пленку прокололи
внутри петли, последняя приняла форму окружности радиуса
R =7,5 мм. Найти силу натяжения нити, если поверхностное
натяжение мыльной воды а =40 мН/м.
6299. Два мыльных пузыря с радиусами Щ и /tj, слившись,
образовали пузырь радиуса R. Атмосферное давление равно р. Считая процесс изотермическим, найти поверхностное натяжение мыльной воды а.
6300. На мыльном пузыре радиуса а "сидит" пузырь радиуса
Ъ. Имея в виду, что Ъ<а, найти радиус кривизны пленки, их
разделяющей. Каковы углы между пленками в местах их
соприкосновения?
6301. Найти давление в пузырьке воздуха диаметра
d=4,0 мкм, который находится в воде на глубине h =5,0 м.
Атмосферное давление р0 нормальное.
6302. На дне пруда выделился пузырек газа диаметра
d=4,0 мкм. При подъеме этого пузырька к поверхности воды
его диаметр увеличился в и = 1,1 раза. Найти глубину пруда в
данном месте. Атмосферное давление нормальное, процесс
расширения газа считать изотермическим.
6303. Найти разность уровней ртути в двух сообщающихся
вертикальных капиллярах, диаметры которых dt =0,50 мм и
^ = 1,00 мм, если краевой угол Ф^Ш".
6304. Вертикальный капилляр с внутренним диаметром
0,50 мм погрузили в воду так, что длина выступающей над
поверхностью воды части капилляра А =25 мм. Найти радиус
кривизны мениска.
6305. Стеклянный капилляр длины / = 110 мм с диаметром
внутреннего канала d=20 мкм опустили в вертикальном
положении в воду. Верхний конец капилляра запаян. Наружное
давление воздуха нормальное. Какая длина х капилляра
должна быть погружена в воду, чтобы уровень воды в капилля
ре совпадал с поверхностью воды вне его?
6306. Вертикальный капилляр длины / с запаянным
верхним концом привели в соприкосновение с поверхностью
жидкости, после чего она поднялась в нем на высоту h.
Плотность жидкости р, диаметр внутреннего канала капилляра
d, краевой угол Ь, атмосферное давление р0. Найти поверх
ностное натяжение жидкости.
6307. Стеклянный стержень диаметром dx = 1,5 мм вставили
симметрично в стеклянный капилляр с диаметром внутреннего
канала ^=2,0 мм. Затем всю систему установили вертикально
и привели в соприкосновение с поверхностью воды. На какую
высоту поднимется вода в таком капилляре?
6308. Две вертикальные пластинки, погруженные частично
в смачивающую жидкость, образуют клин с очень малым углом
бф. Ребро клина вертикально. Плотность жидкости р, ее
поверхностное натяжение а, краевой угол Ь. Найти высоту А
поднятия жидкости как функцию расстояния х от ребра клина.
6309. Из круглого отверстия вытекает вертикальная струя
воды так, что в одном из горизонтальных сечений ее диаметр
d=2,0 мм, а в другом сечении, расположенном ниже на
1-20 мм, диаметр струи в л = 1,5 раза меньше. Найти объем
воды, вытекающий из отверстия за одну секунду.
6310. Капля массы т находится на поверхности стола.
Высота капли А, плотность жидкости р, поверхностное
натяжение о, радиус границы соприкосновения капли с
поверхностью стола равен а. Считая, что имеется полное
несмачивание, найти радиус кривизны поверхности капли в
верхней точке.
6311. Капля воды равномерно падает в воздухе. Найти
разность между радиусом кривизны поверхности капли в ее
верхней точке и радиусом кривизны в нижней точке, расстоя
ние между которыми А =2,3 мм.
6312. Алюминиевый диск радиуса Л=5,6 мм и толщиной
А = 1,5 мм смазан парафином и плавает в воде так, что его
|
верхняя сторона находится на уровне поверхности воды (рис. 6.8). Считая смачивание полным, найти поверхностное натяжение воды.
Рис. 6.8 6313. Между двумя гори-
зонтальными стеклянными пластинками находится капля ртути в форме лепешки радиуса
R и толщины Л. Считая, что А «Л, найти массу т груза, который надо положить на верхнюю пластинку, чтобы расстояние между пластинками уменьшилось в и раз. Краевой угол Ь. Вычислить т, если Л=2,0 см, А =0,38 мм, и=2,0 и * = 135°.
6314. Найти силу притяжения двух параллельных стеклянных пластинок, отстоящих друг от друга на расстояние А=0,10 мм, после того как между ними ввели каплю воды массы /и=70мг. Смачивание считать полным.
6315. Два стеклянных диска радиуса Л=5,0 см смочили
водой и сложили вместе так, что толщина слоя воды между
дисками А = 1,9 мкм. Считая смачивание полным, найти силу, которую нужно приложить перпендикулярно плоскости дисков, чтобы оторвать их друг от друга.
6316. Две вертикальные параллельные друг другу стеклянные
пластины частично погружены в воду. Расстояние между
пластинами d=0,l0 мм, их ширина / = 12 см. Считая, что вода
между пластинами не доходит до их верхних краев и что
смачивание полное, найти силу, с которой они притягиваются
друг к другу.
6317. Найти высоту h поднятия жидкости у вертикальной
плоской стенки. Жидкость смачиваемая, краевой угол Ь,
поверхностное натяжение а, плотность р. Иметь в виду, что
кривизна поверхности l/R=d<p/ds (по определению).
6318. Найти толщину h несмачивающей жидкости, образую
щей лужицу на горизонтальной поверхности. Известны поверх
ностное натяжение жидкости а, ее плотность р и краевой угол
Ь. Диаметр лужицы значительно больше ее толщины.
6319. Найти время исчезновения мыльного пузыря радиуса
R, соединенного с атмосферой капилляром, который имеет
длину / и радиус канала г. Поверхностное натяжение а,
вязкость газа т).
6320. Вертикальный капилляр привели в соприкосновение
с поверхностью воды. Какое количество тепла выделится при
поднятии воды по капилляру? Смачивание считать полным,
поверхностное натяжение равно а.
6321. Найти свободную энергию поверхностного слоя:
а) капли ртути диаметра </=1,4 мм;
б) мыльного пузыря диаметра d=6,0 мм, если поверхностное
натяжение мыльной воды а =45 мН/м.
6322. Зная поверхностное натяжение а, найти:
а) приращение свободной энергии поверхностного слоя при
изотермическом слиянии двух одинаковых капель ртути, каждая
диаметром d=l,5 мм;
б) работу, которую нужно совершить, чтобы изотермически
выдуть мыльный пузырь радиуса R при давлении окружающего
воздуха р0.
6323. Внутри мыльного пузыря радиуса г находится
идеальный газ. Наружное давление р0, поверхностное натяжение
мыльной воды а. Найти разность между молярной теплоем
костью газа при нагреве его внутри пузыря и молярной
теплоемкостью этого газа при постоянном давлении.
6324. Рассмотрев цикл Карно для пленки жидкости,
показать, что при изотермическом процессе теплота, необходи
мая для образования единицы площади поверхностного слоя,
q = -T-da/dT, ще daJdT — производная поверхностного натяже
ния по температуре.
6325. Площадь мыльной пленки изотермически увеличили
на До при температуре Т. Зная поверхностное натяжение
мыльной воды а и температурный коэффициент da/dT, найти
приращение:
а) энтропии поверхностного слоя пленки;
б) внутренней энергии поверхностного слоя.
6.9. Фазовые превращения
• Соотношения между постоянными Ван-дер-Ваальса и параметрами критического состояния вещества:
41 27Rb Связь между критическими параметрами моля вещества:
Уравнение Клапейрона—Клаузиуса:
где qa — удельная теплота, поглощаемая при переходе 1—2, V\ и У'г -удельные объемы фазы 1 и фазы 2.
6326. Насыщенный водяной пар находится при температуре
f=100oC в цилиндрическом сосуде под невесомым поршнем.
При медленном вдвигании поршня небольшая часть пара
массы Am=0,70.г сконденсировалась. Какая работа была
совершена над газом? Пар считать идеальным газом, объемом
жидкости пренебречь.
6327. Вода со своим насыщенным паром находится в сосуде
объемом V=6,0 л при температуре 250"С и давлении 40 атм.
Удельный объем пара при этих условиях И„=50 л/кг. Масса
системы (воды с паром) т=5,0 кг. Найти массу и объем пара.
632&, Пространство в цилиндре под поршнем, имеющее объем V0=5,0 л, занимает один насыщенный водяной пар,
температура которого t=100"C. Найти массу жидкой фазы, образовавшейся в результате изотермического уменьшения объема под поршнем до V=l,6 л. Насыщенный пар считать идеальным газом.
6329. Некоторую массу вещества, взятого в состоянии
насыщенного пара, изотермически сжали в п раз по объему.
Найти, какую часть ц конечного объема занимает жидкая фаза,
если удельные объемы насыщенного пара и жидкой фазы
отличаются друг от друга в N раз (N>n).
Тот же вопрос, но при условии, что конечный объем вещества соответствует середине горизонтального участка изотермы на диаграмме р, V.
6330. Вода массы т = 1,00 кг, кипящая при нормальном
атмосферном давлении, целиком превратилась в насыщенный
пар. Найти приращения энтропии и внутренней энергии этой
системы, считая насыщенный пар идеальным газом.
6331. Вода массы т =20 г находится при температуре 0°С в
теплоизолированном цилиндре под невесомым поршнем,
площадь которого 5=440 см2. Внешнее давление равно нормальному атмосферному. На какую высоту поднимется поршень, если воде сообщить количество теплоты (?=20,0 кДж?
| 1 |
6332. В теплоизолированном цилиндре под невесомым
поршнем находится один грамм насыщенного водяного пара.
Наружное давление нормальное. В цилиндр ввели т = 1,0 г воды
при to=22"C. Пренебрегая теплоемкостью цилиндра и трением,
найти работу, которую произвела сила атмосферного давления
при опускании поршня.
6333. В тепловой машине, работающей по циклу Карно,
рабочим веществом является вода массы т = 1,00 кг, которая
испытывает фазовые превраще
ния в пар и обратно. Цикл по
казан на рис. 6.9, где штриховой
| I |
| з\ |
кривой ограничена область двухфазных состояний. Изотермическое расширение 1—2 происходит при rj=484 К, изотермическое сжатие - при Г2=373 К. Найти работу, совершаемую рабочим веществом за один цикл.
6334. Если дополнительное
давление А/> насыщенных паров
над выпуклой сферической по
верхностью жидкости значитель-
Рис. 6.9
но меньше давления пара у плоской поверхности, то Д/» = = (рп/рж)2а/г, где рп и рж - плотности пара и жидкости, а — поверхностное натяжение, г - радиус кривизны поверхности. Найти с помощью этой формулы диаметр капелек воды, при котором давление насыщенных паров на tj = 1,0% превышает давление паров над плоской поверхностью при г=27°С. Пар считать идеальным газом.
6335. Найти массу всех молекул, вылетающих за одну
секунду с одного квадратного сантиметра поверхности воды в
находящийся над ней насыщенный водяной пар при *=100°С.
Считать, что ц=3,6% всех молекул водяного пара, падающих
на поверхность воды, ею задерживаются.
6336. Найти давление насыщенного пара вольфрама при
Г=2000 К, если при этой температуре вольфрамовая нить,
испаряясь в высоком вакууме, теряет в единицу времени с
единицы поверхности массу ц = 1Д-10"13 г/(с*см2).
6337. На какую величину возросло бы давление воды на
стенки сосуда, если бы исчезли силы притяжения между ее
молекулами?
6338. Найти "внутреннее давление" pt в жидкости, если
известны ее плотность р и удельная теплота парообразования
q. Считать, что теплота q равна работе против сил внутреннего
давления и жидкость подчиняется уравнению Ван-дер-Ваальса.
Вычислить pt у воды.
6339. Показать, что для вещества, подчиняющегося уравне
нию Ван-дер-Ваальса, в критическом состоянии справедливы
соотношения (6.9а) и (6.96).
Указание. Использовать то, что критическому состоянию соответствует точка перегиба на изотерме р(У).
6340. Вычислить постоянные Ван-дер-Ваальса для углекисло
го газа, если его критическая температура 7^=304 К и крити
ческое давление /^=73 атм.
6341. Найти удельный объем бензола (С6Н6) в критическом
состоянии, если его критическая температура 7/^=562 К и
критическое давление р^= 47 атм.
6342. Записать уравнение Ван-дер-Ваальса в приведенных
параметрах п, v и т, приняв за единицы давления, объема и
температуры соответствующие критические величины. Используя
полученное уравнение, найти, во сколько раз температура газа
больше его критической температуры, если давление газа в
12 раз больше критического, а объем газа вдвое меньше
критического.
6343. Зная постоянные Ван-дер-Ваальса, найти:
а) наибольший объем, который может занимать вода массы
т = 1,00 кг в жидком состоянии;
б) наибольшее давление насыщенных паров воды.
|
| Рис, 6.10 |
6344. Вычислить температуру и плотность углекислого газа
в критическом состоянии, считая газ ван-дер-ваальсовским.
6345. Какую часть объема сосуда должен занимать жидкий
эфир при комнатной температуре, чтобы при критической
температуре он оказался в критическом состоянии? Для эфира
7^=467 К, /^=35,5 атм, М=74 г/моль.
6346. Показать, что положение прямой 1 -5, соответствующей
изотермически-изобарическому фазовому переходу, таково, что
площади / и //, ограниченные этой прямой и изотермой Ван-
дер-Ваальса, равны друг другу (рис. 6.10).
6347. Какая часть воды, пере
охлажденной при нормальном
давлении до t=-20"C, превра
тится в лед при переходе систе
мы в равновесное состояние?
При какой температуре переох
лажденной воды она целиком
превратится в лед?
6348. Найти приращение
температуры плавления льда
вблизи 0°С при повышении
давления на Д/> = 1,00 атм, если
удельный объем льда на ДК' =
=0,091 см3/г больше удельного объема воды.
6349. Найти удельный объем насыщенного водяного пара
при нормальном давлении, если известно, что уменьшение
давления на Д/>=3,2 кПа приводит к уменьшению температуры
кипения воды на ДГ=0,9 К.
6350. Определить давление насыщенного водяного пара при
температуре 101,1°С, считая его идеальным газом.
6351. В закрытом сосуде находится небольшое количество
воды и ее насыщенный пар при r=100oC. На сколько процен
тов увеличится масса насыщенного пара при повышении
температуры системы на ДГ=1,5 К? Пар считать идеальным
газом, а удельный объем воды - пренебрежимо малым пр
сравнению с удельным объемом пара.
6352. Давление р насыщенного пара ртути зависит от
температуры Т по закону inp = -а/Т- ЫпГ+с, где а, Ь, с - по-
стоянные. Найти молярную теплоту испарения ртути как функцию температуры q(T).
6353. Найти давление насыщенного пара как функцию
температуры, если при температуре Го его давление /»0. Считать, что удельная теплота парообразования q не зависит от Г, удельный объем жидкости пренебрежимо мал по сравнению с удельным объемом пара, насыщенный пар подчиняется уравнению состояния идеального газа. При каких условиях эти упрощения допустимы?
6354. Лед, находившийся при нормальных условиях,
подвергли сжатию до давления р-640 атм. Считая, что пониже
ние температуры плавления льда в данных условиях линейно
зависит от давления, найти, какая часть льда растаяла.
Удельный объем воды на ДР" = О,О9 см3/г меньше удельного объема льда.
6355. Вблизи тройной точки давление р насыщенного пара
двуокиси углерода зависит от температуры Г как lgp=a-blT,
где а и Ъ - постоянные. Если р - в атмосферах, то для
процесса сублимации а =9,05 и Ь = 1800 К, а для процесса
испарения а =6,78 и Ь = 1310 К. Найти:
а) температуру и давление в тройной точке;
б) значения удельных теплот сублимации, испарения и
плавления вблизи тройной точки.
6356. Воду массы т = 1,00 кг нагрели от температуры
fj-lCC до f2=100°C, при которой она вся превратилась в пар.
Найти приращение энтропии системы.
6357. Лед с начальной температурой ^=0"С, нагревая,
превратили сначала в воду, а затем в пар при t2=100oC. Найти
приращение удельной энтропии системы.
6358. Кусок меди массы т =90 г при ^=90° С положили в
калориметр, в котором находился лед массы 50 г при темпера
туре —3°С. Найти приращение энтропии куска меди к моменту
установления теплового равновесия.
6359. Кусок льда массы /и,=100 г при t^O'C поместили в
калориметр, в котором находилась вода массы /и2=100 г при
температуре t2. Пренебрегая теплоемкостью калориметра, найти
приращение энтропии системы к моменту установления
теплового равновесия. Рассмотреть два случая:
а) Г2=6О°С; б) Г2=94"С.
6360. В калориметр, наполненный большим количеством
льда при температуре Г,=0оС, вылили т =5,0 г расплавленного
свинца, находившегося при температуре плавления ^ Найти приращение энтропии системы свинец-лед к моменту установления теплового равновесия. Удельная теплота плавления свинца 9=22,5 Дж/г, его удельная теплоемкость с =
Дата добавления: 2015-08-02; просмотров: 675 | Нарушение авторских прав
| <== предыдущая страница | | | следующая страница ==> |
| Твердое тело | | | Дж/(гК). |