Свойства нормы вектора.

1. , при этом равенство здесь будет тогда и только тогда, когда ;

2. , убедиться самостоятельно;

3. , (8.2)

называется неравенство треугольника.

Доказательство неравенства треугольника:

Рассмотрим:

.

В частности, в -мерном арифметическом комплексном пространстве неравенство треугольника (8.2) принимает вид:

.

В пространстве всех непрерывных функций на сегменте неравенство треугольника (8.2) принимает вид неравенства Минковского:

.

Итак, для нормы вектора в унитарном пространстве установлены следующие свойства:

1) , при этом равенство здесь будет тогда и только тогда, когда ;

2) ;

3) .

Можно было бы в линейном пространстве, не имея в нем ни какого скалярного произведения, ввести в соответствие каждому вектору норму, удовлетворяющую этим трем требованиям.

Пространство с введенной в нем нормой называется нормированным.

Унитарное пространство всегда нормировано, но не наоборот. Для скалярного произведения кроме нормы необходимо ввести еще и угол.

Дата добавления: 2015-07-20