Студопедия
Случайная страница | ТОМ-1 | ТОМ-2 | ТОМ-3
АрхитектураБиологияГеографияДругоеИностранные языки
ИнформатикаИсторияКультураЛитератураМатематика
МедицинаМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогика
ПолитикаПравоПрограммированиеПсихологияРелигия
СоциологияСпортСтроительствоФизикаФилософия
ФинансыХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника

Знакочередующиеся ряды.

Степенные ряды. | Ряды Фурье. | Предельные теоремы в схеме Бернулли. | Точечные оценки и их свойства. | Понятие числового ряда. Необходимый признак сходимости. | ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА |


Читайте также:
  1. Грунтовые насосы, землесосные установки и землеснаряды.
  2. Знакочередующиеся ряды.
  3. Положительные ряды.
  4. Семейная обрядность. Свадьба и свадебные обряды. Родильные обряды. Обычаи гостеприимства, куначества и побратимства.
  5. Степенные ряды.
  6. Степенные ряды.

Ряд, составленный из положительных и отрицательных членов (знакопеременный ряд) называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд, составленный из абсолютных величин его членов. Если же знакопеременный ряд сходится, а ряд, составленный из модулей его членов, расходится, тогда знакопеременный ряд называется условно (неабсолютно) сходящимся.

Рассмотрим далее числовые ряды, любые два соседние члены которых имеют противоположные знаки (знакочередующиеся ряды):

 

Исследование сходимости знакочередующихся рядов можно начинать с проверки абсолютной сходимости. Если ряд, составленный из абсолютных величин, сходится, то и сам знакопеременный ряд сходится. Если же окажется, что данный знакочередующийся ряд не обладает абсолютной сходимостью, то исследование продолжают с помощью признака Лейбница:

Теорема Лейбница. Если члены знакочередующегося ряда монотонно убывают по абсолютной величине и стремятся к нулю при n ®¥, то ряд сходится. Его сумма имеет знак первого члена, абсолютное значение этой суммы не превышает абсолютное значение первого из членов ряда:

Важное для практики значение имеет следствие из теоремы Лейбница: для сходящегося знакочередующегося ряда абсолютная ошибка приближенного равенства (абсолютная величина остатка ряда) не превосходит модуль первого из отброшенных членов:

 

Пример 7. Исследовать сходимость ряда

 

Решение. Данный ряд знакочередующийся, т.к.

Исходный ряд можно переписать в виде

 

Рассмотрим сначала ряд, составленный из абсолютных величин исходного ряда:

 

Сравним его с гармоническим рядом 1+1/2+1/3+…+1/ n +…, о котором известно, что он расходится. Так как

 

то по второму признаку сравнения заключаем, что ряд из модулей расходится и, следовательно, исходный ряд абсолютно не сходится. Продолжим исследование с помощью признака Лейбница: члены исходного ряда удовлетворяют условиям: во-первых, монотонного убывания абсолютных величин членов ряда, во-вторых, общий член ряда стремится к нулю. В самом деле, в промежутке [0, p/2] функция y = tg x монотонно возрастает, а при n = 1, 2, … выполняются неравенства, а также необходимое условие:

Окончательно заключаем, исходный ряд сходится условно.


Дата добавления: 2015-07-25; просмотров: 99 | Нарушение авторских прав


<== предыдущая страница | следующая страница ==>
Положительные ряды.| Степенные ряды.

mybiblioteka.su - 2015-2024 год. (0.006 сек.)