Студопедия
Случайная страница | ТОМ-1 | ТОМ-2 | ТОМ-3
АрхитектураБиологияГеографияДругоеИностранные языки
ИнформатикаИсторияКультураЛитератураМатематика
МедицинаМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогика
ПолитикаПравоПрограммированиеПсихологияРелигия
СоциологияСпортСтроительствоФизикаФилософия
ФинансыХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника

Нормализация

Читайте также:
  1. Нормализация
  2. Нормализация данных
  3. Нормализация молока
  4. Сепарирование и нормализация молока
  5. Термическая обработка стали как метод повышения прочностных и деформационных свойств стали: нормализация, отпуск, старение. Методы выплавки стали

Нормальные уравнения коррелат в матричной форме имеют вид:

Nr rr1 – Wr1 = 0r1. (K.20)

Коэффициенты нормальных уравнений представляют собой произведение двух ранее введённых матриц:

Nr r = Br n Kn n BTn r. (K.21)

Выполняя умножение данных матриц с учётом (K.48) и (K.49), получаем традиционную алгебраическую форму записи коэффициентов нормальных уравнений коррелат для случая некоррелированных измерений:

. (K.59)

Свободные члены НУ коррелат (K.51) переносятся из линеаризованных УУС. Вектор неизвестных (коррелат), записанный в строку, имеет вид:

Λ1rT= (λ1 l2 … lr). (K.60)

Теперь, выполняя умножение матрицы (K.59) на вектор коррелат (K.60) и вычитая из произведения вектор «невязок» (K.51), получаем алгебраическую запись системы НУ коррелат:

. (K.61)

4. Решение НУ

Решение НУ коррелат, предлагаемое в теоретической части изложения материала, осуществляется методом обращения матрицы коэффициентов Nr r системы НУ (K.61):

Lr 1 = Nr r-1 Wr 1. (K.22)

Это сделано по следующим соображениям.

Во-первых, предполагая линейную независимость УУС, мы вправе считать, что матрица коэффициентов Brn имеет полный строчный ранг, т.е. rank(B) = r. В таком случае матрица коэффициентов НУ Nr r = Br n K BnrT будет иметь такой же ранг, и её определитель не будет равен нулю, т.е. det(Nr r) ≠ 0. Это означает, что существует N-1 и решение системы (K.61) в форме (K.22).

Во-вторых, использование обратной матрицы N-1 значительно упростило как уже выполненные теоретические выкладки, так и предстоящие преобразования.

В развёрнутом виде уравнения (K.22) можно записать, учтя тот факт, что обратная матрица коэффициентов нормальных уравнений является ковариационной матрицей коррелат, т.е. Nr r-1 = KΛ:

. (K.62)

Обратите внимание, что каждый диагональный элемент Kjj – это квадрат среднего квадратического значения j-ой коррелаты!

Отдельно j-ая строка системы (K.62) выглядит следующим образом:

l j = Kj 1* w1 + … +Kj j* wj + … + Kj r* wr. (K.63)

Выше уже отмечалось, что вычисление элементов Kij обратной матрицы N-1 через союзную матрицу на практике представляет собой трудоёмкую вычислительную задачу. Много проще реализовывать обращение с использованием различных алгоритмов решения СЛАУ.

В геодезии традиционно широко применяется алгоритмК.Ф.Гаусса, называемый «методом последовательного исключения неизвестных», и его модификации.

Суть метода Гаусса состоит в эквивалентной замене матрицы коэффициентов нормальных уравнений Nrr верхней треугольной матрицей Urr (для сокращения записей обратные веса π опущены, что не влияет на сущность алгоритма). Эквивалентное преобразование реализуется путём последовательной замены строк исходной матрицы их линейными комбинациями друг с другом. Итак, матрица

(K.59)

преобразуется к верхнему треугольному виду

. (K.64)

Получаемая эквивалентная СЛАУ

(K.65)

легко решается в обратном порядке:

. (K.66)

Коррелаты Λ1rT = (l1, l2, … l1r) вычисленные методом обращения или методом Гаусса, либо каким-то другим способом, должны быть проконтролированы. Такой контроль осуществляется путём подстановки найденных корней в исходную систему НУ коррелат (K.20):

Nr r*Lr1 = Wr1. (K.67)

Вернёмся к вопросу получения элементов обратной матрицы с помощью некоторого алгоритма решения СЛАУ. Очевидно, что такой алгоритм будет линейным преобразованием свободных членов по некоторому правилу Z:

Lr1 = Nr r-1 Wr 1 = Zr r Wr1. (K.68)

Воспользовавшись тождеством N-1 = N-1 *I, выразим его через алгоритм Z:

N-1 = Z*I. (K.69)

Развернём этот результат подробнее:

. (K.70)

Из соотношений (K.70) следует очевидное правило вычисления столбцов обратной матрицы путём r-кратного использования алгоритма Z:

. (K.71)

5. МНК-оценивание

Коррелаты, полученные и проконтролированные на 4ом этапе, позволяют вычислить МНК-поправки в измерения y n1:

. (K.19)

Более подробно, с учётом (K.48), данная система записывается так:

. (K.72)

Получена коррелатная система уравнений поправок. Алгебраический эквивалент i-ой строки данной системы имеет вид:

. (K.73)

Вычисление МНК-поправок в измерения контролируется путём подстановки их в линеаризованные УУС (K.13):

Br n = – Wr1. (K.74)

Допустимые значения МНК- поправок.

В статистических свойствах векторов-оценивателей коррелатной версии, установлено, что: E() = 0; а =KBTN-1BK. Из последнего факта следует, что , т.е. среднее квадратическое значение i-ой поправки – это диагональный элемент ковариационной матрицы МНК-поправок в измерения, находящийся на пересечении i-ой строки и i-ого столбца этой матрицы.

Установление допустимости поправки начинается с проверки нулевой гипотезы о равенстве нулю её МО:

H0 = {E() = 0} (K.75)

против альтернативной гипотезы

HA = {E() ≠ 0}. (K.76)

Нулевая гипотеза (K.75) проверяется с помощью теста

tЭ = | |/ , (K.77)

который сопоставляется на уровне значимости α с квантилью tT распределения Стьюдента, характеризующегося r = n – k степенями свободы:

tT = arg(FСт.(r)= (1–α/2)). (K.78)

Воспользовавшись неравенством альтернативной гипотезы (K.76), получаем такое выражение для допустимого значения МНК-поправки в i-ое измерение:

tЭ = | |/ = tT доп = tT* = tT* . (K.79)

Квантиль распределения Стьюдента, как и ранее, может быть заменена квантилью нормального распределения на том же уровне значимости:

t0.05 = 1.96 ≈ 2; t0.01 = 2.58 ≈ 2.6; t0.003 = 3. (K.58)

Если все невязки Wj были в допустимых пределах, то и МНК-поправки окажутся допустимыми. Тем не менее, наличие недопустимых невязок побуждает нас локализовать измерения, содержащие «промахи». В такой ситуации анализ МНК-поправок на допустимость может сыграть положительную роль.


Дата добавления: 2015-07-19; просмотров: 82 | Нарушение авторских прав


<== предыдущая страница | следующая страница ==>
Поэтапная реализация коррелатной версии| МНК-оптимизация (уравнивание)

mybiblioteka.su - 2015-2024 год. (0.008 сек.)