Замена переменных

При замене переменных в двойном интеграле фактически происходит некоторое отображение Ф одной двумерной области интегрирования D₁ в другую D, также двумерную.

При однократном интеграле на функцию накладывают условие монотонности и непрерывной дифференцируемости, чтобы замена была однозначной, и чтобы было легко переходить от одной области к другой (обратимый переход). Аналогично для двойного интеграла при отображении Ф двумерной области D₁ в двумерную D:

также потребуем взаимооднозначности отображения Ф.

Если якобиан отображения:

, тогда отображение Ф будет взаимооднозначным.

Если x(u,v) и y(u,v) непрерывно дифференцируемы, то

Дополнительный множитель появляется при переходе от двух переменных x, y к другим двум переменным u, v; и он служит коэффициентом преобразования площади.

Доказательство: рассмотрим отображение Ф:

A₁–(x(u,v),y(u,v))

B₁ –(x(u,v+ v),y(u,v+ v))

D₁–(x(u+ u,v),y(u+ u,v))

C₁–(x(u+ u,v+ v),y(u+ u,v+ v))

По формуле Тейлора с точностью до первого порядка малости:

x(u+ u,v) x(u,v+ v)

y(u+ u,v) y(u,v+ v)

x(u+ u,v+ v)

y(u+ u,v+ v)

A₂= A₁

B₂= ,

C₂=(, )

D₂=(, ), где A₂ B₂ C₂ D₂–параллелограмм.

Найдем площади элементов разбиения областей D` и D:

S_ABCD= u v (в координатах u, v)

S(A₁,B₁,C₁,D₁) S(A₂,B₂,C₂,D₂)= =I(u,v) u v (в координатах x, y)

=()

=()

Если рассмотреть небольшой участок площади (прямоугольник ABCD), тогда S_ABCD= u v

S(A₁B₁C₁D₁) u v, где коэффициент преобразования площади (якобиан), т.к. при преобразовании координат изменяется площадь.

Отсюда следует формула замены переменных:

, где –элементы соответствующих разбиений.

Если I(u,v)=0 на некоторых точках или на множествах с нулевой площадью, то интеграл от этого не меняется.

Пример: (в полярных координатах)

=

r всегда больше нуля, кроме начала координат, где якобиан замены равен нулю. Нельзя интегрировать по областям, содержащим начало координат, но если таких точек конечное множество, либо они образуют нулевую площадь, то интегрировать можно, так как интеграл не меняется.

Замена переменных

Аналогично двукратному интегралу, отображение должно быть взаимооднозначным и, следовательно, якобиан

=

Вопрос 25: Понятие кривой. Длина кривой.

Пусть на [a, b] определены непрерывные функции x(y), y(t) и z(t). r(t) = (x(t), y(t), z(t)) – вектор функции.

Вектор a называется пределом функции f(t) à t₀, если . То есть если r(t) определён в некоторой окрестности точки t₀, возможно, исключая её.

Вектор функции непрерывен в точке тогда, когда её координаты непрерывны в ней.

Если , то вектор a называется производной функции r(t) в точке t₀.

Пусть на [a, b] определена вектор-функция r(t) = (x(t), y(t), z(t)), t в [a, b]. Тогда говорят, что задана кривая с параметрическим представлением (t). Будем говорить, что параметрические представления r(t) = (x(t), y(t), z(t)) и p(τ) = (φ(τ), ψ(τ), ζ(τ)) определяют одну и ту же кривую, если существует монотонная функция λ: [α, β]. (на) [a, b] такая, что для любого τ из [α, β], p(τ) = r(λ(τ)).

Пусть кривая λ задана параметрически: . Пусть - произвольное разбиение на [a, b]. OMi = r(t), i = 1, 2,...

Если при каждом разбиении отрезка [a, b] длины ломаных ограничены в совокепности, то кривая называется спремляемой, а называется длиной кривой.

Кривая называется гладкой, если среди её параметрчиеских предствалений найдётся , такое, что φ, ψ и χ нпрерывны на [a, b] и для любого t из [a, b] выполняется (φ’(t))²+(ψ’(t))²+(χ’(t))² >0.

Пусть и . Тогда называется суммой γ₁ и γ₂ è γ = γ₁ γ₂.

Если кривую можно представить как сумму конечного числа гладких кривых, то она называется кусочно гладкой.

26.Опр. По определению, криволинейным интегралом первого (I-го) рода на плоскости называется:

,где L – кривая, заданная уравнениями . Докажем корректность определения:

Сделаем замену: ,где и

,где и ,

тогда ,аналогично и

,

Как видно из полученного выражения, определение не зависит от выбора параметра.

Опр. Кривая , заданная параметрическими уравнениями и называется гладкой, если функции и имеют непрерывные производные, не обращающиеся одновременно в нуль.

Опр. Кусочнонепрерывной (кусочногладкой) кривой называется кривая, которая является непрерывной и состоит из нескольких гладких кривых.

Свойства кусочнонепрерывной кривой (без доказательства):

(свойство аддитивности)

Аналогично кривая задается системой:

это уравнение кусочнонеперывной кривой

Кривую L будем называть кривой по пути АВ, т.е. начало

L кривой в точке А и конец в точке В.

А В

Заметим, что криволинейный интеграл первого рода не завистит от того, в каком направлении мы интегрируем по прямой от ,или от .

Опр. Интеграл называется криволинейным интегралом первого рода по кривой в пространстве .

Пусть в точках кривой гамма задана ф-ией S(x,y,z) тогда S f(x,y,z) ds= S от 0 до s f(x(s),y(s),z(s)) ds

Пусть гамма гладкая кривая с парам предст x:r(t)=(фи(t), пси(t) лямбда(t)) t пренадл [ab]

Тогда Sот гаммы F(x,y,z) dx= s от a до b F(фи(t), пси(t) лямбда(t))* фи штрих (t) dt

F(x,y,z) dz = F(фи(t), пси(t) лямбда(t) лямбда штрих (t) dt

Дата добавления: 2015-07-19