Задания для самостоятельной работы. 1.Найти частные производные первого порядка.

1. Найти частные производные первого порядка.

1.1. z = y ⁶ – x ³ + x ² y ² – y ⁴, 1.2. , 1.3.

1.4. , 1.5. , 1.6. ,

1.7. , 1.8. , 1.9. .

2. Найти частные производные первого порядка по u и v сложных функций.

2.1. где x = sin(2 u – 5 v), y = u ² + v ³,

2.2. , где x = cos(u – v), y = u v,

2.3. где x = tg u, y = u ² + v,

2.4. где x = u – v, y = u + v,

2.5. где x = 2 u – v, y = u + 3 v.

3. Найти производные первого порядка по t от сложных функций.

3.1. где x = t ², , 3.2. где x = ln t, y = e ^t,

3.3. , где x = t ³, , 3.4. , где x = sin t, y =cos t.

4. Найти частные производные первого порядка от функций, заданных неявно.

4.1. ln(xyz) + y + z – x = 1, 4.2. , 4.3. cos z = x sin y,

4.4. , 4.5. 4.6. .

5. Скалярное поле задано функцией z = f (x; y), и точки А ₁(х ₁; у ₁) и А ₂(х ₂; у ₂). Найти: а) скорость изменения скалярного поля z = f (x; y) в направлении вектора , и наибольшую скорость изменения поля z в точке А ₁; б) уравнения касательной плоскости и нормали в точке А ₂.

5.1. , A ₁(1; 3), A ₂(–1; 5).

5.2. , A ₁(3; 1), A ₂(6; –2).

5.3. , A ₁(2; 3), A ₂(3; 1).

5.4. , A ₁(1; –2), A ₂(3; 2).

5.5. A ₁(–2; 1), A ₂(2; 2).

2. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

Как известно, интегрирование является процессом суммирования. Однако, суммирование может производиться неоднократно, что приводит нас к понятию кратных интегралов. Рассмотрение этого вопроса начнем с рассмотрения двойных интегралов.

2.1. Двойные интегралы

Рассмотрим на плоскости (рис.2.1) некоторую замкнутую кривую, уравнение которой f (x, y) = 0.

Совокупность всех точек, лежащих внутри кривой и на самой кривой назовем замкнутой областью D (рис.2.1). Если выбрать точки области без учета точек, лежащих на кривой, область будет называется незамкнутой область D.

С геометрической точки зрения D – площадь фигуры, ограниченной контуром.

Разобьем область D на n частичных областей сеткой прямых, отстоящих друг от друга по оси Х на расстояние D х _i, а по оси Y – на D у _i. Вообще говоря, такой порядок разбиения необязателен, возможно, разбиение области на частичные участки произвольной формы и размера.

Получаем, что площадь S делится на элементарные прямоугольники, площади которых равны S _i = D x _i × D y _i.

В каждой частичной области возьмем произвольную точку Р (х _i, y _i) и составим интегральную сумму

где f – функция непрерывная и однозначная для всех точек области D.

Если бесконечно увеличивать количество частичных областей D_i, тогда, очевидно, площадь каждого частичного участка S _i стремится к нулю.

Определение. Если при стремлении к нулю шага разбиения области D интегральные суммы имеют конечный предел, то этот предел называется двойным интегралом от функции f (x, y) по области D.

С учетом того, что S _i = D x _i × D y _i получаем:

В приведенной выше записи имеются два знака S, так как суммирование производится по двум переменным х и у.

Так как деление области интегрирования произвольно, также произволен и выбор точек Р _i, то, считая все площади S _i одинаковыми, получаем формулу:

2.1.1. Условия существования двойного интеграла

Сформулируем достаточные условия существования двойного интеграла.

Теорема: Если функция f (x, y) непрерывна в замкнутой области D, то двойной интеграл существует.

Теорема: Если функция f (x, y) ограничена в замкнутой области D и непрерывна в ней всюду, кроме конечного числа кусочно – гладких линий, то двойной интеграл существует.

Свойства двойного интеграла

1)

2)

3) Если D = D₁ + D₂, то

.

4) Теорема: (о среднем). Двойной интеграл от функции f (x, y) равен произведению значения этой функции в некоторой точке области интегрирования на площадь области интегрирования.

.

5) Если f (x, y) ³ 0 в области D, то .

6) Если f ₁(x, y) £ f ₂(x, y), то .

7) .

2.1.2. Вычисление двойного интеграла

Теорема: Если функция f(x, y) непрерывна в замкнутой области D (рис.2.2), ограниченной линиями х = a, x = b, (a < b), y = F(x), y = Y(x), где F и Y - непрерывные функции и F £ Y, тогда

Пример:

Вычислить интеграл , если область D ограничена линиями: y = 0, y = x ², x = 2.

Решение: область интегрирования D представим на рисунке

=

= .

Теорема: Если функция f (x, y) непрерывна в замкнутой области D, ограниченной линиями y = c, y = d (c < d), x = F(y), x = Y(y) (F(y) £ Y(y)), то

.

Пример:

Вычислить интеграл , если область D ограничена линиями y = x, x = 0, y = 1, y = 2.

Решение: область D представлена на рис.2.3.

Пример:

Вычислить интеграл , если область интегрирования D ограничена линиями х = 0, х = у ², у = 2.

Решение: =

=

Пример:

Вычислить двойной интеграл , если область интегрирования ограничена линиями ху = 1, у = , х = 2.

Решение: построим графики функций, ограничивающих область D (рис.2.4).

1.

2.

3.

Замена переменных в двойном интеграле

Рассмотрим двойной интеграл вида , где переменная , а переменная у изменяется от j₁(x) до j₂(х).

Положим х = f (u, v); y = j (u, v).

Тогда dx = ; dy = ;

,

так как при первом интегрировании переменная х принимается за постоянную величину, то dx = 0.

, то есть

подставляя это выражение в записанное выше соотношение для dy, получим:

.

Выражение называется определителем Якоби или Якобианом функций f (u, v) и j (u, v).

Тогда .

Так как при первом интегрировании приведенное выше выражение для dx принимает вид (при первом интегрировании полагаем v = const, dv = 0), то при изменении порядка интегрирования, получаем соотношение:

.

Двойной интеграл в полярных координатах

Воспользуемся формулой замены переменных:

.

При этом известно, что

В этом случае Якобиан имеет вид:

.

Тогда

. (2.1)

Здесь t - новая область значений,

2.2. Тройной интеграл.

При рассмотрении тройного интеграла не будем подробно останавливаться на всех тех теоретических выкладках, которые были детально разобраны применительно к двойному интегралу, так как существенных различий между ними нет.

Единственное отличие заключается в том, что при нахождении тройного интеграла интегрирование ведется не по двум, а по трем переменным, а областью интегрирования является не часть плоскости, а некоторая область в трехмерном пространстве.

.

Суммирование производится по области v, которая ограничена некоторой поверхностью j(x, y, z) = 0.

.

Здесь х ₁ и х ₂ – постоянные величины, у ₁ и у ₂ – могут быть некоторыми функциями от х или постоянными величинами, z ₁ и z ₂ – могут быть функциями от х и у или постоянными величинами.

Пример:

Вычислить интеграл

Решение:

Замена переменных в тройном интеграле

Операция замены переменных в тройном интеграле аналогична соответствующей операции для двойного интеграла, то есть можно записать:

.

Наиболее часто к замене переменной в тройном интеграле прибегают с целью, перейти от декартовой прямоугольной системы координат к цилиндрической или сферической системе.

Цилиндрическая система координат

Связь координат произвольной точки Р пространства в цилиндрической системе с координатами в декартовой системе координат представлена на (рис.2.5) и осуществляется по формулам:

где

Для представления тройного интеграла в цилиндрических координатах вычисляем Якобиан:

.

Тогда получим тройной интеграл в цилиндрической системе координат в виде:

.

Сферическая система координат

Связь координат произвольной точки Р пространства в сферической системе с координатами в декартовой прямоугольной системе координат представлена на рис.2.6 и осуществляется по формулам:

Для представления тройного интеграла в сферических координатах вычисляем Якобиан:

Окончательно получаем:

2.3. Геометрические и физические приложения кратных интегралов

2.3.1. Вычисление площадей в декартовых координатах

Площадь S, показанная на рис. 2.7 может быть вычислена с помощью двойного интеграла по формуле:

.

Пример:

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями y ² = 4 x + 4;

x + y – 2 = 0.

Решение: построим графики заданных функций:

Линии пересекаются в двух точках – (0, 2) и (8, –6). Таким образом, область интегрирования ограничена по х графиками кривых от до х = 2 – у, и по у – от –6 до 2. Тогда искомая площадь равна:

(ед ²).

2.3.2. Вычисление площадей в полярных координатах

Полагая в формуле (2.1) f (r, q) = 1, получим формулу для вычисления площади области S:

2.3.3. Вычисление объемов тел

Пусть тело ограничено снизу плоскостью хоу, сверху – поверхностью z = f (x, y), а с боков – цилиндрической поверхностью (рис.2.8).

Такое тело называется цилиндром. Объем цилиндра вычисляется по формуле:

(2.2)

Пример:

Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями: y = x ², y = 1, x + y + z = 4, z = 0.

Решение: данное тело (рис.2.9.) представляет вертикальный цилиндр, который сверху ограничен частью плоскости z = 4 – x – y, а снизу – частью плоскости ХОY, заключенной между параболой y = x ² и прямой y = 1.

Согласно формуле (2.2) объем этого тела

Пример: Вычислить объем, ограниченный поверхностями: x ² + y ² = 1; x + y + z =3 и плоскостью ХОY.

Решение: данное тело (рис.2.10.) представляет вертикальный круговой цилиндр, который сверху ограничен частью плоскости z = 3 – x – y, а снизу – частью плоскости ХОY, заключенной внутри окружности x ² + y ² = 1. Переменная х при этом изменяется от x ₁ = –1 до x ₂ = 1, а переменная у – от до

Согласно формуле (2.2) объем этого тела

2.3.4. Вычисление площади кривой поверхности

Если поверхность задана уравнением: f (x, y, z) = 0, то площадь ее поверхности находится по формуле:

.

Если поверхность задана в неявном виде, т.е. уравнением z = j (x, y), то площадь этой поверхности вычисляется по формуле:

2.3.5. Вычисление моментов инерции плоских фигур

Пусть площадь плоской фигуры (область D) ограничена линией, уравнение которой f (x, y) = 0. Тогда моменты инерции этой фигуры находятся по формулам:

- относительно оси Ох: ;

- относительно оси Оу: ;

- относительно начала координат: .

2.3.6. Вычисление центров тяжести плоских фигур

Пусть точка С – центр тяжести плоской фигуры, тогда её координаты находятся по формулам:

где w – поверхностная плотность (dm = wdydx – масса элемента площади).

2.3.7. Вычисление объемов тел с помощью тройного интеграла

Если поверхность тела описывается уравнением f (x, y, z) = 0, то объем тела вычисляется по формуле:

.

при этом z ₁ и z ₂ – функции от х и у или постоянные, у ₁ и у ₂ – функции от х или постоянные, х ₁ и х ₂ – постоянные.

2.3.8. Координаты центра тяжести тела

Если точка С – центр тяжести физического тела, то её координаты находятся по формулам:

где w – переменная плотность тела является координат точек тела (dm = wdv – масса элемента объёма тела).

2.3.9. Моменты инерции тела относительно осей координат

2.3.10. Моменты инерции тела относительно координатных плоскостей

2.3.11. Момент инерции тела относительно начала координат

2.3.12. Вычисление массы неоднородного тела

(2.3)

В приведенных выше формулах п.п. 2.3.9 – 2.3.12 V – область интегрирования по объему, w – плотность тела в точке (х, у, z) (может быть функцией координит точки или постоянной величиной, если тело однородное), dv – элемент объема:

- в декартовых координатах: dv = dxdydz;

- в цилиндрических координатах: dv = rdzdjdq;

- в сферических координатах: dv = r²sinjdrdjdq.

Пример:

Найти массу кругового кольца, если в каждой его точке поверхностная плотность обратно пропорциональна квадрату расстояния ее до центра кольца.

Решение: пусть r ₁ и r ₂ (r ₁ < r ₂) радиусы окружностей, ограничивающих кольцо. Поместим полюс полярной системы координат в центре кольца; тогда уравнения окружностей будут ρ = r ₁ и ρ = r ₂, а поверхностная плотность в точке М (θ, ρ) кольца .

Массу всего кольца найдем по формуле (2.3), преобразуя ее к полярным координатам:

Дата добавления: 2015-07-16