Достаточные условия экстремума.

1. Пусть -стационарная точка функции , функция дважды дифференцируема в некоторой окрестности точки и все ее вторые частные производные непрерывны в точке .Тогда:

1)Если второй дифференциал имеет постоянный знак при всех возможных значениях , не равных одновременно нулю, то функция имеет в точке экстремум, а именно: максимум при и минимум при ;

2)Если является знакопеременной функцией, т.е. при некоторых значениях принимает положительное значение, а при других значениях принимает отрицательное значение, то точка не является точкой экстремума функции ;

3)Если при некоторых значениях , не равных одновременно нулю, второй дифференциал принимает нулевое значение, а при всех остальных значениях сохраняет постоянный знак (т.е. или для всех возможных значений ), то для выяснения вопроса, является ли точка точкой экстремума или нет, требуется дополнительное исследование.

2. В случае функции двух переменных: если точка - стационарная точка функции , причем функция дважды дифференцируема в некоторой окрестности точки и все ее вторые частные производные непрерывны в точке , то:

1)Если , то функция имеет в точке экстремум, причем максимум, если и минимум, если ,

2)если , то экстремума в точке нет,

3) если , то требуется дополнительное исследование.

Пример1. Найти все экстремумы функции .

Решение. Находим первые производные:

Находим стационарные точки: поскольку

Находим вторые производные:

Проверяем точку на экстремум:

, поэтому точка является точкой экстремума.

Поскольку , в точке функция имеет минимум.

Пример2. Найти все экстремумы функции

.

Решение. Находим первые производные:

Находим стационарные точки: поскольку

Находим вторые производные:

Подставляем значения

Подставляем эти значения в формулу для второго дифференциала:

, Получаем:

Поэтому точка является точкой максимума.

Задачи.

1. Найти все экстремумы функции

.

2. Найти все экстремумы функции

.

3. Найти все экстремумы функции

.

4. Найти все экстремумы функции

.

5. Найти все экстремумы функции

.

6. Найти все экстремумы функции

.

7. Найти все экстремумы функции

.

Ответы.

1. , 2. ,

3. , 4. ,

5. ,

6. , 7. .

Дата добавления: 2015-07-16