Читайте также:
|
Исходим из следующего утверждения: если целочисленный приведенный (!) многочлен имеет рациональный корень, то этот корень будет целым числом. В самом деле, пусть 
есть несократимая дробь и является корнем уравнения 
,то есть 
. Умножим обе части уравнения на 
: 
, откуда имеем: 
, то есть несократимая дробь 
равна целому числу (сумме целых чисел), что невозможно. Значит, доказательством от противного установлено, что несократимая дробь не может быть корнем приведенного (!) целочисленного уравнения (многочлена).
Если имеется целочисленный не приведенный многочлен 
, то можно получить приведенный многочлен, умножив исходный многочлен на 
и сделав замену 
: 
,
.
Многочлен 
- целочисленный и приведенный (!); если он имеет рациональные корни, то они целые и содержатся в качестве делителей свободного члена 
, то есть 
, откуда 
, что может быть как целым, так и дробным числом. Итак, для нахождения всех рациональных (дробных и целых) корней неприведенного целочисленного многочлена нужно его превратить в приведенный (!) (умножив на и сделав замену ), найти все целые корни этого приведенного уравнения и разделить каждый из них на старший коэффициент исходного многочлена.
Пример 2.6. Найти рациональные корни многочлена
.
Решение. Умножая 
на 
() и делая замену 
(), получим: 
, то есть 
; 
; значит, 
есть корень уравнения 
; проверим его кратность: 
, 
; значит, корень простой; делим на разность 
по схеме Горнера:
| -54 | |||||
| с=1 |
Следовательно, 
, где 
. Делителями свободного члена будут числа: 
; 
; 
; 
; 
; 
; 
; 
. 
, 
. Заметим, кстати, что положительных корней многочлен 
не имеет. Пусть 
, тогда 
; пусть 
, тогда 
; пусть 
, тогда 
, 
; стало быть, 
корень многочлена . Испытаем этот корень по схеме Горнера и заодно получим некое квадратное уравнение, корни которого сразу же и оценим.
| с=-6 |
Таким образом, 
, что говорит о том, что остальные два корня комплексные. Итак, у=1;-6, откуда получаем: 
; 
.
Ответ: 
.
Упражнения 2.5. Найти рациональные корни целочисленных многочленов:
а). 
,
б). 
,
в). 
,
г). 
,
д). 
,
е). 
,
ж). 
,
з). 
.
Дата добавления: 2015-07-16; просмотров: 137 | Нарушение авторских прав
| <== предыдущая страница | | | следующая страница ==> |
| Нахождение целых корней | | | Общий подход к решению уравнений высших степеней |