Пример 4. Найти порождающий многочлен (ПМ) линейного циклического кода длины n = 15

Найти порождающий многочлен (ПМ) линейного циклического кода длины n = 15, который осуществляет кодирование сообщений длины k = 7. Затем кодировать сообщение [0110110].

Если нам нужен ПМ для кода длины 15 при длине сообщения 7, то нужно найти делитель x¹⁵ + 1 степени 15 - 7 = 8.

Многочлен x¹⁵ + 1 разлагается на множители (как? - вот в чем вопрос)

x¹⁵ + 1 = (1 + x)(1 + x + x²)(1 + x + x² + x³ + x⁴)(1 + x + x⁴)(1 + x³ + x⁴),

поэтому можно взять g(x) = (1 + x + x² + x³ + x⁴)(1 + x + x⁴) = 1 + x⁴ + x⁶ + x⁷ + x⁸. Используя этот многочлен как ПМ мы строим код с минимальным расстоянием 5, который исправляет 2 ошибки. Найдя ПМ, мы можем кодировать сообщение [0110110]. В полиномиальной интерпретации вектору [0110110] соответствует x + x² + x⁴ + x⁵. Умножим его на ПМ g(x).

(x + x² + x⁴ + x⁵)(1 + x⁴ + x⁶ + x⁷ + x⁸) =

x + x² + x⁴ + x⁶ + x⁷ + x⁸ + x⁹ + x¹³

Соответствующее кодовое слово[011010111100010]. Итак, сообщение [0110110] кодировано в слово [011010111100010].

Дата добавления: 2015-07-16