Матриці

Дії над матрицями.

Прямокутна таблиця чисел , i = 1, 2,..., m; j = 1, 2,..., n, складена з m рядків та n стовпців і записана у вигляді

називається матрицею (числовою матрицею розміром ).

Коротко матрицю позначають так: А = (), де – елементи матриці. Якщо m = n, то матриця називається квадратною.

Дві матриці А = () та В = () називаються рівними між собою, якщо вони мають однакові розміри (, ) і рівні відповідні елементи: = . Нульовою називається матриця, у якої всі елементи дорівнюють нулю. Позначають її буквою О. Квадратна матриця називається діагональною, якщо всі її елементи, крім тих, що лежать на головній діагоналі, дорівнюють нулю. Діагональна матриця, у якої кожний елемент головної діагоналі дорівнює одиниці, називається одиничною і позначається буквою Е.

Визначником квадратної матриці =() називається визначник, який складений з елементів матриці і позначається символомdet A. Таким чином,

.

Квадратна матриця А називається невиродженою, якщо її визначник не дорівнює нулю:

Сумою С = А + В двох матриць однакового розміру =() та = () називається матриця

Добутком матриці А = () на число k називається матриця

Різниця А – В матриць однакових розмірів визначається як сума матриці А і матриці В, помноженої на -1: А – В = А + (-1) В.

Матриця А називається узгодженою з матрицею В, якщо кількість стовпців першої матриці А дорівнює кількості рядків другої матриці В.

Якщо матриця А узгоджена з матрицею В, то добутком С = АВ матриці

=() на матрицю = () називається така - матриця, у якої елемент дорівнює сумі добутків елементів i -го рядка матриці А на

відповідні елементи j -го стовпця матриці В:

i =1, 2, …, m, j = 1, 2, …, k.

Обернена матриця. Матрицю А^-1 називають обер­неною до квадратної матриці A, якщо добуток цих матрицьдорівнює одиничній матриці, тобто

А А^-1 =А^-1А = Е.

Обернена матриця існує для всякої квадратної матриці А, яка є невиродженою, тобто коли визначник матриці | А |≠0.

Запишемо алгоритм відшукання оберненої матриці до квадратної матриці А:

1) обчислити визначник | А |матриці А. Якщо | А |≠0, то матриця А має обернену, в іншому випадку оберненої матриці не існує;

2)обчислити алгебраїчні доповнення А_ij;

3)записати матрицю А ^{~ T}, яка є транспонованою до матриці А ^~ = (А_IJ), складеної з алгебраїчних доповнень елементів за­даної матриці;

4)визначити обернену матрицю за формулою

A^-1= 1 A^~T

|A|

Приклад. Визначимо обернену матрицю А^-1 для матриці

Оскільки визначник

то для матриці А існує обернена матриця А^-1. Запишемоалгебраїчні

доповнення елементів матриці А:

Якщо основна матриця системи лінійних рівнянь є квадратною і

невиродженою, то систему можна розв'язати матричним способом (за допомогою оберненої матриці). Записавши систему в матричному вигляді,

дістанемо розв'язок X системи рівнянь:

АХ = В= (А^-1А)Х = А^-1В = ЕХ = А^-1В = Х = А^-1В.

Дата добавления: 2015-07-16