Логические типы и логические уровни

Как было выше указано в тексте, до сих пор уделялось мало внимания, или вообще не уделялось внимания явному описанию отношений порядка в практике НЛП. Без такого явного обсуждения работа в области НЛП страдает существенным пороком – отсюда видно, почему иерархии были изложены выше с такой тщательностью. В этой дискуссии, а также в разделе Эпистемология Части I, мы указали на различные возможные отношения порядка, действующие в иерархиях: более конкретно, это иерархическое упорядочение части к целому и то, что мы назвали иерархическим упорядочением по логическим уровням.

До этого места в тексте этой книги лишь упоминалось важное различие между логическими уровнями и логическими типами, без объяснения этих двух основных терминов. Теперь мы выполним свое обещание и обсудим этот вопрос.

Мы вполне сознаем, что расходимся здесь в нашем изложении с исторически сложившимся использованием терминов логический тип и логический уровень. Теперь мы изложим причины, по которым предлагаем их нестандартное употребление и соответствующую лингвистическую реформу.

Исторически термин логический тип предложил Бертран Рассел. Вначале, в своей работе под названием Основы математики (1902), Рассел пришел к ряду парадоксов, носящих теперь его имя – парадоксов Рассела. Чтобы дать читателю представление о парадоксе Рассела, рассмотрим следующий пример.

Мы начнем с хорошо устроенных множеств: условимся определять класс объемом действия некоторого свойства. Пусть, например, дано свойство: «весит больше одного килограмма на уровне моря на планете Земля». Тогда мы можем образовать класс из всех предметов, весящих больше одного килограмма на уровне моря на планете Земля, записывая этот класс в виде {x: W(x)}, где W – это свойство «весит больше одного килограмма на уровне моря на планете Земля», а выражение в скобках читается: класс всех таких х, что х весит больше одного килограмма на уровне моря на планете Земля. Конечно, это равносильно установлению правила для определения элементов множества, что называется еще интенсивным определением и соответствует, в частности, структуре естественного языка (более конкретно, структуре придаточных предложений). До сих пор все ясно!

Рассмотрим теперь S = {x: x не является элементом х} (читается: S есть множество всех таких х, что х не является элементом х). Здесь есть две возможности: либо S является элементом самого себя (элементом S), либо S не является элементом самого себя. Рассмотрим оба случая по очереди:

Случай 1: предположим, что S является элементом самого себя. Но, по определению, S = {x: x не является элементом х}. Поэтому S не является элементом S. Но если S не является элементом S, то оно должно быть элементом…и т. д.

Случай 2: предположим, что S не является элементом самого себя. Но тогда (опять-таки по определению) S должно быть элементом S. Но если S является элементом самого себя, то оно не может быть элементом S, и т. д.

Это рекурсивное чередование истинностных значений показывает, что каждая из логических возможностей, представленных в обоих случаях, приводит к противоречию.

Приведем теперь примеры, несколько более близкие воображению читателя. Рассмотрим следующие объекты (следуя любезному сообщению Фрэнка Толла):

Библиография всех библиографий, не содержащих самое себя.

Парикмахер, бреющий всех тех, кто не бреется сам.

Почтальон, доставляющий почту всем тем, кто не доставляет почту самому себе.

Затратив некоторое время, вы обнаружите, что ни один из этих объектов не существует.

Источником трудности является аксиома неограниченного включения (или абстракции) в наивной теории множеств. Эта аксиома, впервые введенная Георгом Кантором, утверждает, что любое предикатное выражение P(x), содержащее х как свободную переменную, определяет некоторое множество. Элементами этого множества являются в точности те предметы, которые удовлетворяют P(x), то есть все такие х, которые являются Р. Теперь все согласны, что подобная аксиома должна быть отвергнута или видоизменена.

Решение этого парадокса, принятое в настоящее время, состоит попросту в замечании, что не все свойства определяют множества, то есть что не каждый класс определяет множество. Это решение носит законодательный характер, то есть устанавливаются аксиомы, утверждающие, что некоторые множества существуют; эти аксиомы (при их надлежащем выборе) не позволяют нам построить такое множество, как S.

Ответ самого Рассела на этот парадокс, данный им в то время, заключается в его теории типов. Его основная идея состоит в том, что можно избежать упоминания об S (множестве всех множеств, не являющихся элементами самих себя), расположив все предложения в некоторую иерархию. Эта иерархия будет состоять из предложений об отдельных предметах (individuals) (на самом нижнем уровне), предложений о множествах отдельных предметов (на следующем уровне), предложений о множествах множеств отдельных предметов (на следующем, более высоком уровне), и т. д. После этого можно говорить о всех предметах, обладающих данным свойством (или удовлетворяющих данному предикату) лишь в том случае, если они находятся на одном и том же уровне, или имеют один и тот же «тип». Хотя Рассел впервые ввел идею типов в своей работе Основы математики (1902), эта теория получила завершенное выражение шестью годами позже в его статье 1908 года Математическая логика на основе теории типов, а затем в совместном труде с Алфредом Нортом Уайтхедом (Рrincipia Mathematica, by Bertrand Russell and Alfred North Witehead) (1910, 1912, 1913). Эта последняя работа имела наибольшие притязания: она должна была создать прочную основу всей математики – логику.

Весь вопрос о «парадоксах» Рассела в настоящее время не беспокоит тех, кто занимается теорией множеств. Наш друг Фрэнк Толл, профессор математики в университете Торонто и специалист по теории множеств, описывает это следующим образом:

Парадокс Рассела показывает, что мы не можем наивно пользоваться (как в наивной теории множеств) неограниченной аксиомой включения. Принятое решение состоит в том, что вместо нее мы постулируем в качестве аксиом различные принципы, говорящие нам, что некоторые множества существуют, и что новые множества могут быть построены из старых множеств (например, если даны два множества, то существует множество, состоящее из них обоих). В этом контексте нет надобности в расселовой теории типов. Однако, анализ этих аксиом показывает, что в действительности мы постулируем существование множеств, составляющих некоторую иерархию уровней. Различие между типами Рассела и уровнями Цермело состоит в том, что уровни Цермело кумулятивны: при m > n множества n-ого уровне находятся также на m-ом. ⁸

Бейтсон в своей трактовке уровней обучения и коммуникации и в своем анализе двойных связок, в книгах Этапы экологии разума и Разум и природа, приводит ряд увлекательных неформальных примеров того, как он понимает различение Рассела. Именно его работа привлекла вначале внимание Гриндера, обратив его внимание на важность работать с той же точностью в своих утверждениях и в их потенциальных приложениях.

Такова история термина. Мы предлагаем теперь следующее определение: термин логический уровень мы будем использовать для обозначения уровней в любой иерархии, порожденной логическим включением.

Дата добавления: 2015-12-01