Построение графиков

Исследование функций

1. Находим область определения.

Например, y=lnx определена для x>0, y=x для x≥0, y=1x для x≠0, y=ex для x∈ℝ, ℝ - множество действительных чисел, (-∞,+∞), от минус бесконечности до плюс бесконечности.

2. Находим точки пересечения с осями координат.

x=0, y =? y=0, x =?

3. Находим точки разрыва, исследуем на непрерывность.

Например, для y=1x x = 0 - точка разрыва, y=ex непрерывна на всей числовой оси.

4. Исследуем на чётность и нечетность.

Например, y=1x - нечётная, так как y(-x) = -1x = -y(x).

5. Исследуем на периодичность.

Например, для y=cosx период равен T=2π.

6. Находим асимптоты.
Вертикальные асимптоты находятся с помощью односторонних пределов в точках разрыва из пункта 3, горизонтальные и наклонные асимптоты находятся по формулам: y=kx+b, k=limx→∞yx, b=limx→∞(y-kx).

7. Исследуем на монотонность, находим интервалы возрастания и убывания, находим первую производную.

8. Находим вторую производную, точки перегиба и интервалы выпуклости, вогнутости.

9. Строим график.

Построение графиков

Построение можно выполнить на основе проведенного анализа, можно с помощью программы для построения графиков, скачать и использовать которую можно бесплатно.

Вы можете нам отправить задание по дифференциальному исчислению или заказать решение контрольной работы по математическому анализу.

Рассмотрим пример для y=1-x33.

D(y)=ℝ. Общего вида, т.е. ни чётная, ни нечётная.
x=0→y=1;y=0→x=1⇒A(0,1),B(1,0) - точки пересечения с осями координат.
k=limx→∞1-x33x = limx→∞1x3-13=-1,
b = limx→∞(1-x33+x) = limx→∞(1-x33+x)((1-x3)23+x2-x1-x33)(1-x3)23+x2-x1-x33= limx→∞1-x3+x3(1-x3)23+x2-x1-x33 = limx→∞1(1-x3)23+x2-x1-x33=0.
y=kx+b⇒y=-x - наклонная асимптота.
y' = 13(1-x3)-23·(-3x2) = -x2(1-x3)-23<0⇒функция убывает на ℝ, экстремумов нет.
y'' = -2x(1-x3)-23+x2·23(1-x3)-53·(-3x2) = -2x(1-x3)-23-2x4(1-x3)-53 = -2x(1-x3)53
y''=0⇒x=0,x≠1.

Вогнута на (-∞,0)∪(1,+∞), выпукла на (0,1).
x=0,x=1 - точки перегиба.

5. Элементарные функции и их графики

рафики элементарных функций

	Прямая линия - график линейной функции y = ax + b. Функция y монотонно возрастает при a > 0 и убывает при a < 0. При b = 0 прямая линия проходит через начало координат т. 0 (y = ax - прямая пропорциональность)
	Парабола - график функции квадратного трёхчлена у = ах^2 + bх + с. Имеет вертикальную ось симметрии. Если а > 0, имеет минимум, если а < 0 - максимум. Точки пересечения (если они есть) с осью абсцисс - корни соответствующего квадратного уравнения ax^2 + bx +с =0
	Гипербола - график функции . При а > О расположена в I и III четвертях, при а < 0 - во II и IV. Асимптоты - оси координат. Ось симметрии - прямая у = х(а > 0) или у - - х(а < 0).
	Экспонента (показательная функция по основанию е) у = е^x. (Другое написание у = ехр(х)). Асимптота - ось абсцисс.
	Логарифмическая функция y = logax (a > 0)
	у = sinx. Синусоида - периодическая функция с периодом Т = 2π
	у = а•sin(ωx+φ) - функция гармонических колебаний. Обозначения: а - амплитуда, ω - частота (ω = 2π/Т), φ - фаза (сдвиг).
	Косинусоида у = cosx (графики у = sinx и у = cosx сдвинуты по оси х на )
	Тангенсоида y = tgx. Точки разрыва при х = (2k -1), где k = 0, ±1, ±2,.. Вертикальные асимптоты в этих точках.
	Гауссиана у = Аe^-(ax2). Кривая "нормального" закона распределения ошибок, у которого , , σ ^2 - дисперсия ошибки. Симметрия относительно оси у.
	у = secx - кривая "цепной линии", эту форму принимает абсолютно гибкая нить, подвешенная в параллельном поле тяжести. А полная функция периодична, и её асимптоты х = (2k -1), как у функции y = tgx.
	Круг с центром в точке (xo, yo) радиуса r. (x-xo)^2 + (y-yo)^2 = r^2
	Эллипсс центром в точке (xo, yo). Большая полуось а, малая b, эксцинтриситет ,
	Затухающее колебание y = Ae^-ax•sin(ωx+φ)

. 6. Задачи, решаемые методом дифференциального исчисления.

Дифференциальное исчисление — широко применяемый для экономического анализа математический аппарат. Базовой задачей экономического анализа является изучение экономических величин, записываемых в виде функций.

Задачи, решаемые методом дифференциального исчисления:

1. в экономике очень часто требуется найти наилучшее, или оптимальное значение того или иного показателя: наивысшую производительность труда, максимальную прибыль, максимальный выпуск, минимальные издержки и т.д. Нахождение оптимального значения показателя сводится к нахождению экстремума функции.

2. задачи на экстремум функций нескольких переменных (т.к. экономические показатели обычно зависят от многих факторов). Многие задачи включают не только максимизируемую (минимизируемую) функцию, но и ограничения (скажем, бюджетное ограничение в задаче потребительского выбора). Это — задачи математического программирования.

3. важный раздел методов дифференциального исчисления, используемых в экономике, называется методами предельного анализа. Предельный анализ в экономике — совокупность приемов исследования изменяющихся величин затрат или результатов при изменениях объемов производства, потребления и т.п. на основе анализа, их предельных значений. Предельный показатель (показатели) функции у == f (х) — это ее производная (в случае функции одной переменной) или частные производные (в случае функции нескольких переменных).

4. часто требуется узнать, на какую величину вырастет результат, если будут увеличены затраты или, наоборот, насколько уменьшится результат, если затраты сократятся. С помощью средних величин ответ на этот вопрос получить невозможно. В подобных задачах требуется определить предел отношения приростов результата и затрат, т.е. найти предельный эффект.

5. предельная норма замены важна в задачах потребительского выбора (взаимозаменяемость благ), в задачах оптимизации производства (взаимозаменяемость труда и капитала) и в ряде других задач. Пусть y=f{x₁ x₂). Если мы хотим сохранить значение функции у неизменным, то это означает, что приращение у, а значит и его главная линейная часть должны быть равны нулю. Иными словами, о = dy = у'_X1 • d_X1 + у'_X2 • dx_X2. Отсюда предельная норма замены — - dx₁/dx₂ = Y’_X2/Y’_X1 , то есть равняется отношению частных производных функции у по первому и второму факторам.

Методы дифференциального исчисления широко применяются не только для анализа взаимодействия отдельных экономических факторов, определения их взаимозаменяемости или оптимального сочетания, но и в сложных моделях экономики, в частности — в моделях экономической динамики.

---

Дата добавления: 2015-12-01