Основные свойства спектральной плотности

Читайте также:

Отметим, что в формулах (22.5) и (22.6), т.е.

определена как для положительных, так и для отрицательных частот. Перейдем к одностороннему спектру, ограничиваясь только положительными частотами. Воспользовавшись формулой Эйлера, представим соотношение для , состоящим из двух слагаемых

В силу четности функции второе слагаемое равно нулю, а первое можно преобразовать к виду

Из этой формулы следует, что является действительной и четной функцией, т.е.

Это позволяет ограничиться положительными частотами и в выражении для корреляционной функции

Соотношения для и являются парами интегрального преобразования Фурье, причем выражения (23.1) и (23.3) для случая четной функции. Поэтому корреляционная функция и спектральная плотность подчинены закономерности: чем протяженнее кривая , тем ỳже корреляционная функция (тем меньше время корреляции), и наоборот.

Площадь, которая ограниченная непрерывной кривой на спектральной диаграмме, очевидно, должна равняться дисперсии случайного процесса . Действительно, положив в формуле (23.3) получим

Будем подразумевать под случайным процессом напряжение, тогда можно рассматривать как среднюю мощность, выделяемую этим напряжением на резисторе с сопротивлением в 1 Ом

Следовательно, величина

представляет собой долю средней мощности, выделяемой составляющими спектра, относящимися к интервалу частот .

В связи с этим спектральную плотность называют еще спектральной плотностью мощности, а также энергетическим спектром стационарного случайного процесса, поскольку имеет размерность энергии.

Спектральная плотность мощности случайного процесса является средней характеристикой множества реализаций. Её можно получить и путём усреднения спектральной мощности реализации по множеству реализаций

Рассмотрим с этой целью одну реализацию стационарного случайного процесса сначала на ограниченном интервале времени . Для неё можно записать преобразование Фурье