Нахождение корней линейной системы методом Зейделя

Рисунок 10.

На Рисунке 10 приведен фрагмент рабочего документа Mathcad, содержащий дальнейшее решение этой системы.

Метод Зейделя

Метод Зейделя представляет собой некоторую модификацию метода итераций. Основная его идея заключается в том, что при вычислении (k + 1)-го приближения неизвестной x_i учитываются уже вычисленные ранее (k + 1)-е приближения неизвестных x ₁, x ₂, …, x_i - 1.

Пусть получена эквивалентная система (18). Выберем произвольно начальные приближения корней . Далее, предполагая, что k -ые приближения корней известны, согласно Зейделю будем строить (k + 1)-е приближения корней по формулам:

(22)

Заметим, что указанные выше условия сходимости для простой итерации остается верной для итерации по методу Зейделя. Обычно метод Зейделя дает лучшую сходимость, чем метод простой итерации, но приводит к более громоздким вычислениям.

Пример 8. Методом Зейделя решить систему уравнений

Приведем эту систему к виду, удобному для итерации:

В качестве нулевых приближений корней возьмем:

Применяя процесс Зейделя, последовательно получим:

Результаты вычислений с точностью до четырех знаков приведены в Таблице 2.

Таблица 2

Нахождение корней линейной системы методом Зейделя

i
	1,2000	0,0000	0,000
	1,2000	1,0600	0,9480
	0,9992	1,0054	0,9991
	0,9996	1,0001	1,0001
	1,000	1,000	1,000
	1,000	1,000	1,000

Точные значения корней: х ₁ = 1; х ₂ = 1; х ₃ = 1.

Метод половинного деления

Для нахождения корня уравнения (1), принадлежащего отрезку [ a, b ], делим этот отрезок пополам. Если f = 0, то x = является корнем уравнения. Если f не равно 0 (что, практически, наиболее вероятно), то выбираем ту из половин или , на концах которой функция f (x)имеет противоположные знаки. Новый суженный отрезок [ а ₁, b _1] снова делим пополам и производим те же самые действия.

Метод половинного деления практически удобно применять для грубого нахождения корня данного уравнения, метод прост и надежен, всегда сходится.

Пример 3. Методом половинного деления уточнить корень уравнения

f (x) = x ⁴ + 2 x ³ - x - 1 = 0

лежащий на отрезке [ 0, 1].

Последовательно имеем:

f (0) = - 1; f (1) = 1; f (0,5) = 0,06 + 0,25 - 0,5 - 1 = - 1,19;

f (0,75) = 0,32 + 0,84 - 0,75 - 1 = - 0,59;

f (0,875) = 0,59 + 1,34 - 0,88 - 1 = + 0,05;

f (0,8125) = 0,436 + 1,072 - 0,812 - 1 = - 0,304;

f (0,8438) = 0,507 + 1,202 - 0,844 - 1 = - 0,135;

f (0,8594) = 0,546 + 1,270 - 0,859 - 1 = - 0,043 и т. д.

Можно принять

x = (0,859 + 0,875) = 0,867

Постановка задачи

В данной статье рассмотрены симметричные методы поиска экстремума функции одного переменного.

Пусть дана функция , необходимо найти минимум этой функции на заданном отрезке (задача максимума решается аналогично). Предполагается, что производная функции либо не существует, либо сложно вычислима, что не позволяет свести задачу к поиску корней производной .

Методы заключаются в построении последовательности отрезков , стаягивающихся к точке .

Проанализируем симметричные методы поиска и оценим их эффективность и точность.

Требования к функции

Рассматривая все функции, пусть даже непрерывные, можно построить такой пример, что , хотя .

Гарантировать применимость рассматриваемых методов можно только для унимодальных функций.

Определение: Функция называется унимодальной на отрезке , если ∃! точка минимума на этом отрезке такая, что для любых точек этого отрезка

,

.

Другими словами унимодальная функция монотонна на обе стороны от точки минимума . Аналогично определяется унимодальная функция и для задачи на максимум. Унимодальные функции могут быть непрерывными, разрывными, дискретными...

Дата добавления: 2015-12-01