Читайте также:
|
|
Системы уравнений четырехполюсника. Основной задачей теории четырехполюсников является установление соотношений между четырьмя величинами: напряжениями на входе и выходе, а также токами, протекающими через входные и выходные зажимы. Уравнения, дающие зависимость между U 1, U 2, I 1, I2, называются уравнениями передачи четырехполюсника. Для линейных четырехполюсников эти уравнения будут линейными. Величины, связывающие в уравнениях передачи напряжения и токи, называются параметрами четырехполюсников.
Сложная электрическая цепь (например, канал связи), имеющая входные и выходные зажимы, может рассматриваться как совокупность четырехполюсников, соединенных по определенной схеме. Зная параметры этих четырехполюсников, можно вычислить параметры сложного четырехполюсника и получить тем самым зависимость между напряжениями и токами на зажимах результирующего сложного четырехполюсника, не производя расчетов всех напряжений и токов внутри заданной схемы.
Кроме того, теория четырехполюсников позволяет решить обратную задачу: по заданным напряжениям и токам найти параметры четырехполюсника и затем построить его схему и рассчитать элементы, т. е. решить задачу синтеза.
Пусть четырехполюсник содержит п независимых контуров. Отнесем первый контур ко входу четырехполюсника (I K1 = I 1), второй контур — к его выходу (I K2 = I K2). Будем считать, что во внутренних контурах четырехполюсника отсутствуют независимые источники энергии.
При рассмотрении четырехполюсника важно заранее условиться о положительных направлениях напряжений и токов. В дальнейшем будем придерживаться положительных направлений, показанных стрелками на рис. 12.1, если особо не будут оговорены другие случаи.
Составим систему уравнений для контурных токов (см. § 2.4):
Коэффициенты Y 11, Y 12, Y 21, и Y 22, в уравнениях (12.2) называются Y-.параметрами, или параметрами проводимостей четырехполюсника, так как по размерности они являются именно таковыми. Уравнения (12.2) называются уравнениями передачи четырехполюсника в Y -параметрах. Эти уравнения представляют собой одну из возможных форм уравнений передачи. Она позволяют находить любую пару из значений I 1 ,I 2, U 1, и U 2,, если заданы значения другой пары.
Помимо уравнений в форме (12.2) существует еще пять форм уравнений передачи. Уравнения, связывающие напряжения U 1, U 2, и токи I 1, I 2
содержат в качестве коэффициентов параметры сопротивлений четырехполюсника, или Z -параметры, и называются уравнениями передачи в Z-параметрах. Параметры Z 11, Z 12, Z 21 и Z 22 имеют размерность сопротивлений. Заметим, что они не являются обратными величинами по отношению к параметрам проводимости, таким образом, например, Не следует также путать эти параметры с собственными и взаимными сопротивлениями контуров Z 11, Z 12 и т. д. в уравнениях (12.1) для контурных токов.
Коэффициенты, входящие в систему уравнений, связывающую входные U 1, и I 1 и выходные U 2, и I 1 напряжения и токи
называются А-параметрами, или обобщенными параметрами. Уравнения (12.4) называются уравнениями передачи в А- параметpax. Параметры А 11 и А 22 являются безразмерными, параметр А 21 имеет размерность сопротивления; параметр А%\ — размерность проводимости:
Приведем еще две формы уравнений передачи:
Коэффициенты Н 11, Н 12, Н 21 и Н 22 называются H -параметрами и применяются при рассмотрении схем с транзисторами. Параметры Н 12 и Н 21 являются безразмерными, а параметры Н 11 и Н 22 имеют размерности сопротивления и проводимости.
Коэффициенты F 11, F 12, F 21 и F 22 называются F -параметрами и применяются при рассмотрении схем с электронными лампами. Параметры F 12 и F 21 безразмерные, а параметры F 11 и F 22 имеют размерности проводимости и сопротивления. Уравнения (12.5) называются соответственно уравнениями передачи в H -параметрах и F -параметрах.
Все формы уравнений передачи принципиально равноправны. Выбор той или иной формы зависит исключительно от задачи, которая в данном случае решается.
Полная совокупность параметров любой системы уравнений передачи образует систему параметров четырехполюсника. Так, систему Y -параметров четырехполюсника образует совокупность его параметров Y 11, Y 12, Y 21, Y 22.
Два четырехполюсника, имеющие одинаковые системы параметров, независимо от их внутренней структуры, числа элементов и т. д., характеризуются, очевидно, одинаковыми уравнениями передачи. Такие четырехполюсники называются эквивалентными, и при включении любого из них между одними и теми же внешними цепями на их зажимах устанавливаются одинаковые режимы.
Свойства параметров-коэффициентов. Системы Y-, Z-, А-, Н- и F- параметров образованы из коэффициентов уравнений передачи, и поэтому часто их объединяют одним названием параметры-коэффициенты. Рассмотрим основные свойства параметров-коэффициентов.
1. Параметры-коэффициенты определяются только схемой четырехполюсника и ее элементами и не зависят от внешних цепей, между которыми может быть включен четырехполюсник, т. е. они характеризуют собственно четырехполюсник.
Пример. На входе Г-образного четырехполюсника (см. рис. 12.2, б), подключенного к внешним цепям, действует напряжение U 1и ток I 1, а на выходе напряжение U 2 и ток I 2. Определим А -параметры четырехполюсника.
В соответствии с ЗНК и ЗТК U 1 = U 2 + I 1 Z 1 и I 1 = U 2/ Z 2 + I 2.
Подставляя выражение для тока I 1в первое равенство, получаем
2. Все системы параметров-коэффициентов описывают один и тот же четырехполюсник, поэтому между различными системами параметров-коэффициентов существует однозначная взаимосвязь.
Пример. Установим связь между А -параметрами и Z -параметрами. Решая систему уравнений в Z -параметрах (12.3) относительно неизвестных U 1и I 1находим:
Аналогичным образом можно установить связь между другими системами параметров. В табл. 12.1 приведены соотношения между различными системами параметров — коэффициентов.
3. Пассивный четырехполюсник полностью характеризуется не более чем тремя независимыми параметрами. Действительно, в многоконтурной схеме пассивного четырехполюсника взаимные сопротивления Z km и Z km k-го и т-то контуров равны между собой. Следовательно, Y 12 = — Y 21. Зная связь между Y -параметрами и Z -параметрами, можно установить, что Z 12 = — Z 21.. Далее можно показать, что для А -параметров справедливо соотношение
= Н 21, Н 22; F 11, F 12= F 21 и F 22 или любые три из параметров А 11, А 12, А 21и А 22.
4. При изменении направления передачи энергии через четырехполюсник во всех выражениях, включающих А -параметры, коэффициенты А 11 и А 22 меняются местами.
Рассмотрим передачу энергии через четырехполюсник в обратном направлении, т. е. от зажимов 2—2' к зажимам 1 —1' (рис. 12.3). Если в уравнениях передачи (12.4) заменить напряжение U 1и ток I 1на зажимах 1— 1' на напряжение U 2`и I 2`ток — в соответствии с рис. 12.3, а напряжение U 2и ток I 2на зажимах 2 — 2' на величины — U 1`и — I 1`, то (12.4) можно переписать в виде
Сопоставляя эти уравнения с (12.4), можно сделать интересное наблюдение: в уравнениях передачи параметры А 11 и А 22 поменялись местами. Оказывается, этот факт справедлив не только для уравнений передачи, но и для любых других выражений, в которые входят А -параметры.
5. Симметричные пассивные четырехполюсники имеют только два независимых параметра. В самом деле, в случае симметричного пассивного четырехполюсника не имеет значения направление передачи энергии: напряжения и токи на входе и выходе не изменяются при замене местами зажимов. Сравнивая уравнения передачи (12.4) и (12.6), устанавливаем, что А 11 = А 22. Из табл. 12.1 находим также, что в симметричных четырехполюсниках Y 11 =- Y 22; Z 11 = - Z 22 и ΔН = -1.
6. Параметры-коэффициенты имеют определенный физический смысл. Для выявления этого физического смысла следует четырехполюсник поставить в такой режим работы, при котором уравнения передачи содержат лишь один интересующий нас параметр. Подобное произойдет, если использовать режимы холостого хода (XX — размыкания пары зажимов) и короткого замыкания (КЗ — замыкания накоротко пары зажимов). Так, при XX на зажимах 2 — 2' (см. рис. 12.1) ток I 2 = 0. Тогда уравнения передачи, содержащие ток I 2, например уравнения (12.3) в Z -параметрах, имеют вид:
7. Из предыдущего свойства следует, что параметры-коэффициенты являются комплексными величинами, так как они определяются отношением комплексных амплитуд (действующих значений) напряжений и токов. В случае анализа четырехполюсника в режиме негармонических колебаний используют спектральные представления электрических величин. Можно показать, что параметры-коэффициенты, рассматриваемые относительно не отдельной частоты, а определенного спектра частот, являются рациональными функциями оператора jω. При переходе от оператора jω к оператору р параметры-коэффициенты представляют собой рациональные функции оператора р.
т. е. Z11является дробно-рациональной функцией оператора р с положительными вещественными коэффициентами. Нули этой функции — мнимые и лежат на мнимой оси комплексной плоскости, полюс р1 = 0. При замене оператора р оператором jω переходим к частотной характеристике
Полученные выражения Z11 (p) и Z11 (jω) напоминают выражение входного сопротивления последовательного LС-контура. Это объясняется тем, что входное сопротивление Г-образной цепи (см. рис. 12.2, б) при разомкнутых зажимах определяется последовательным соединением двухполюсников Z 1, и Z 2 (индуктивности и емкости), т. е. Z 11 является сопротивлением двухполюсника (ср. с (4.115)).
Дата добавления: 2015-12-01; просмотров: 57 | Нарушение авторских прав