Читайте также: |
|
Расчет разветвленных цепей при смешанном соединении элементов в режиме гармонических колебаний обычно осуществляется символическим методом. Это объясняется тем, что классический метод расчета приводит к громоздким интегрально-дифференциальным уравнениям и требует большого объема тригонометрических преобразований. Символический метод позволяет тригонометрические операции над гармоническими колебаниями и геометрические операции над векторами свести к алгебраическим операциям над комплексными числами, что существенно упрощает расчет. При этом могут быть использованы все методы преобразований и анализа, изложенные в гл. 1, 2. Допустимость использования символического метода объясняется тем, что в линейных цепях в режиме гармонических воздействий в цепи устанавливаются гармонические колебания тон же частоты. Таким образом, неизвестными параметрами токов и напряжений будут лишь амплитуды и фазы, определяемые однозначно их комплексными амплитудами. Запишем основные законы электрических цепей в символической форме.
Для резистивного элемента R связь между комплексными амплитудами тока I т и напряжения U т можно определить согласно закону Ома (1.6) путем замены мгновенных значений токов i и напряжений и их комплексными амплитудами:
(3.45) отражает закон Ома для индуктивных элементов. Сравнение (3.45) с (1.9) показывает, что операция дифференцирования d/dt соответствует в комплексной форме умножению на jω.
Для емкостного элемента С на основании (1.12) можно записать:
т. е. операция интегрирования соответствует в комплексной форме делению на/со. Полученные уравнения (3.44) —(3.46) справедливы и для комплексных действующих значений токов и напряжений:
Аналогично можно получить уравнения законов Кирхгофа в комплексной форме. Так, для ЗТК (1.16) заменив мгновенные значения токов ik их комплексными амплитудами I mk, получим
Полученные уравнения законов Ома и Кирхгофа в комплексной форме лежат в основе символического метода расчета линейных цепей при гармонических воздействиях. Причем, как показывает анализ уравнений (3.24), (3.26). (3.45) и (3.46), при переходе к комплексной записи операции дифференцирования заменяются умножением на jω, операции интегрирования — делением на jω. В результате вместо системы интегрально-дифференциальных уравнений получаем систему алгебраических уравнений, решение которой определяет амплитуды и начальные фазы искомых токов и напряжений.
Применим символический метод к анализу гармонических колебаний в цепи при последовательном (см. § 3.4) и параллельном (см. § 3.5) соединениях элементов R, L, С. Для последовательного
Комплексное сопротивление Z можно выразить в показательной или тригонометрической форме:
Таким образом, рассмотренное ранее полное сопротивление цепи (3.33) представляет собой модуль комплексного сопротивления:
а фазовый сдвиг φ — аргумент (arg) комплексного сопротивления:
Аналогичным образом можно получить уравнения токов и напряжений в комплексной форме для параллельного соединения элементов R, L, С (см. § 3.5). Так уравнение (3.39) в комплексной форме примет вид
Следовательно, полная проводимость цепи Y равна модулю комплексной проводимости Y = | Y |, а фазовый сдвиг φ — аргументу комплексной проводимости φ= arg Y = arctg(B/G).
При анализе различных электрических цепей часто возникает необходимость преобразования схемы последовательно соединенных элементов в эквивалентное параллельное соединение и наоборот (рис. 3.13). В основе подобных преобразований лежит принцип эквивалентности (см. § 1.5). Согласно этому принципу ток I и напряжение U 12в исходной (рис. 3.13, а) и преобразованной (рис. 3.13, б) схемах должны остаться неизменными. Для первой
Преобразование (3.56) и (3.57) можно положить в основу разложения тока в последовательном участке и напряжения в параллельном на активную и реактивную составляющие.
Пример. Преобразовать последовательный RC-участок (рис 3.14, я) в эквивалентный параллельный (рис. 3.14, б). Определить активные и реактивные составляющие токов и напряжений на обоих участках.
В соответствии с уравнением (3.57) получаем
Символический метод особенно эффективен при анализе сложных разветвленных цепей. Причем поскольку все методы расчета подобных цепей (метод контурных токов, узловых потенциалов, наложения и др.) базируются на законах Ома и Кирхгофа, то эти методы могут использоваться и при комплексной форме с заменой соответствующих величин (токов, напряжений, сопротивлений, проводимостей) их комплексными значениями.
Пример. Проиллюстрируем это на примере расчета цепи, изображенной на рис. 3.15 различными методами в комплексной форме. Заменим элементы ветвей в исходной схеме их комплексными сопротивлениями, а источники напряжения и токи их комплексными значениями (рис. 3.16):
Рассчитаем теперь эту цепь различными методами в символической форме, используя комплексы действующих значений токов и напряжений.
1. Метод наложения. Сравнение схем, изображенных на рис. 3.16 и рис. 2.5. а показывает их одинаковую топологию. Таким образом, путем перехода от R к Z, от Ur к Ur и от I к I можно сразу получить соответствующие уравнения для токов I 1, I 2, I 3(см. § 2.3).
2. Метод контурных токов. В соответствии с § 2.4 составляем систему из двух уравнений для контуров I и II:
писать уравнения для мгновенных значений i и и. Так, если угловая частота задающих источников синусоидальных колебаний ur1 и ur2 равна ω, то мгновенное значение тока
Аналогичным образом осуществляется преобразование электрических цепей, содержащих комплексные сопротивления. Комплексные сопротивления, соединенные звездой преобразуются в треугольник путем замены в формулах (2.6)—(2.9) параметров R и G на соответствующие комплексы Z и Y. Точно также осуществляется обратное преобразование треугольник-звезда.
Например, с учетом уравнений (1.9) и (1.12) можно получить формулы преобразования «звезда—треугольник» индуктивных и емкостных элементов. Так, для емкостных элементов при преобразовании «треугольник—звезда» имеем:
Преобразование «треугольник—звезда» и обратно для индуктивных элементов осуществляется по формулам, аналогичным (2.6)-(2.8).
Подобным же образом преобразуются матрично-топологические уравнения цепей в комплексную форму. Например, матричные уравнения (1.18), (1.20), (2.17) в комплексной форме принимают следующий вид:
где Y B, Y y — матрицы комплексной проводимости ветвей и комплексной узловой проводимости.
Z B, Z K — матрица комплексного сопротивления ветви и матрица комплексного контурного сопротивления.
U гв, J ГB, U в — матрицы-столбцы комплексных задающих напряжений и токов ветви и напряжений ветвей.
Дата добавления: 2015-12-01; просмотров: 94 | Нарушение авторских прав