Метод простых итераций для решения СЛАУ

Цель работы

1. Программная реализация на языке С++ решения системы линейных алгебраических уравнений методом итераций

2. Проверка работы составленной программы для заданной функции.

Система функции (1 вариант)

Решить с точность e = 0.001

Теоретическое обоснование

Метод простых итераций для решения СЛАУ

Альтернативой прямым методам решения СЛАУ являются итерационные методы, основанные на многократном уточнении , заданного приближенного решения системы . Верхним индексом в скобках здесь и далее по тексту обозначается номер итерации (совокупности повторяющихся действий).

Реализация простейшего итерационного метода — метода простых итераций — состоит в выполнении следующих процедур.

1. Исходная задача преобразуется к равносильному виду:

где — квадратная матрица порядка ; — столбец. Это преобразование может быть выполнено различными путями, но для обеспечения сходимости итераций (см. процедуру 2) нужно добиться выполнения условия .

2. Столбец принимается в качестве начального приближения и далее многократно выполняются действия по уточнению решения, согласно рекуррентному соотношению

или в развернутом виде

Итерации прерываются при выполнении условия

где — заданная точность, которую необходимо достигнуть при решении задачи.

Замечания

1. Процесс (10.12) называется параллельным итерированием, так как для вычисления (k+1)-го приближения всех неизвестных учитываются вычисленные ранее их k-е приближения.

2. Начальное приближение может выбираться произвольно или из некоторых соображений. При этом может использоваться априорная информация о решении или просто "грубая" прикидка.

При выполнении итераций (любых) возникают следующие вопросы:

а) сходится ли процесс (10.12), т.е. имеет ли место , при , где — точное решение?

б) если сходимость есть, то какова ее скорость?

в) какова погрешность найденного решения , т.е. чему равна норма разности ?

Ответ на вопросы о сходимости дают следующие две теоремы.

Теорема (10.1) о достаточном условии сходимости метода простых итераций. Метод простых итераций, реализующийся в процессе последовательных приближений (10.12), сходится к единственному решению исходной системы при любом начальном приближении со скоростью не медленнее геометрической прогрессии, если какая-либо норма матрицы меньше единицы, т.е. .

Дата добавления: 2015-12-01