Глава VIII. Второй закон термодинамики для необратимых процессов

Математическое выражение второго закона термодинамики ли замкнутых процессов (циклов)

для незамкнутых процессов

или

Для адиабатно изолированной системы

dS ³ 0

или

S₂ — S₁ ³ 0.

Знак равенства в приведенных выражениях относится к обратимым процессам и циклам, знак меньше (<) и больше (>) к необратимым.

Два последних неравенства представляют собой математическую формулировку закона возрастания энтропии: энтропия адиабатно изолированной системы не может убывать (dS ³ 0), она остается неизменной (dS = 0), если в системе совершаются только обратимые процессы, или возрастает (dS > 0), если в системе имеют место необратимые процессы.

В процессе адиабатного дросселирования (расширение без производства работы — предельный механически необратимый процесс) приращение энтропии 1 кг идеального газа

кДж/(кг×К).

Приращение энтропии от необратимости смешения разнородных газов находится по одной из следующих формул

кДж/(кг×К).

кДж/(кг×К).

где — универсальная газовая постоянная, равная 8,314 кДж/(кмоль×К);
n_i — число киломолей i-го газа; М и R — масса и индивидуальная газовая постоянная i-го газа; r_i — мольная доля (или равная ей по величине объемная доля) i-го газа.

Так как r_i всегда меньше единицы, lnr_i величина отрицательная, a DS_см — положительная — энтропия смеси больше суммы энтропий смешивающихся газов на величину DS_см. Следовательно, энтропия смеси

или

.

Изолированная система может совершать работу только в том случае, если она не находится в состоянии равновесия. А величина возможной работы зависит от того, как протекает процесс — обратимо или необратимо. Чтобы работа была максимальной, все связанные с ее совершением процессы должны быть обратимыми.

Максимальная работа, которую может совершить рабочее тело в потоке, в процессе перехода в состояние равновесия с окружающей средой называется технической работоспособностью или эксергией потока.

Эксергия потока определяется по формуле

ех = i – i₀ – T₀(s – s₀),

где i и s — энтальпия и энтропия рабочего тела в заданном начальном состоянии; i₀ и s₀ — то же, в состоянии равновесия с окружающей средой (при параметрах окружающей среды); Т₀ — абсолютная температура окружающей среды.

Для всей массы рабочего тела М

Ех = М ех.

Эксергия рабочего тела в потоке складывается из приращения энтальпии с обратным знаком

– Di = i – i₀,

равного работе потока в адиабатном процессе расширения 1-а (рис. 8.1), и количества теплоты

q = T₀(s₀ – s₁) = – Т₀(s₁ – s₀),

подведенной в изотермическом процессе а-0 (если теплота отводится, то разность s₀ — s_i является величиной отрицательной).

Рис. 8-1

Эксергия теплоты, отнесенного к 1 кг рабочего тела, определяется формуле

кДж/(кг×К).

Потеря эксергии происходит вследствие необратимости процесса и во всех случаях определяется по формуле Гюи-Стодола.

Dех = Т₀D s_c,

D s_c — приращение энтропии системы вследствие необратимости процесса.

Для всего количества теплоты Q

кДж.

Для закрытой системы (рабочее тело в цилиндре с подвижным поршнем, газ в баллоне и т. п.)

ех = и – и₀ – Т₀(s – s₀) – p₀(v₀ – v).

Здесь, как и в предыдущих формулах, величины с индексом 1 относятся к рабочему телу в начальном состоянии, а с индексам 0 — к рабочему телу в состоянии равновесия с окружающей средой.

Пример. Необратимый цикл Карно совершается в пределах температур t₁ = 477 °С и t₂ = 27 °C. Теплообмен между рабочим телом и источниками теплоты совершается при конечной разности температур Dt = 80 ºС. Изменение состояния рабочего тела происходит внутренне обратимо. В цикле подводится Q₁ = 600 кДж теплоты. Определить и приращение энтропии системы.

Решение. 1) Для цикла Карно

Знаки Q₁ и Q₂ определяются здесь с позиции рабочего тела Т₁ и Т₂ существенно положительны, поэтому Q₁ / Т₁ > 0, а Q₂ / Т₂ < 0. Сначала находим неизвестную величину Q₂ через КПД цикла. Для термически необратимого цикла, при том что рабочее тело изменяет свое состояние внутренне обратимо, КПД цикла h_t выражается через температуры рабочего тела Т₁ и Т₂ при подводе и отводе теплоты.

По условию задачи (рис. 8-2)

= Т₁ – DТ = 750 – 80 = 670 К;

= Т₂ + DТ = 300 + 80 = 380 К.

Следовательно,

Количество отведенной теплоты (по абсолютной величине)

|Q₂| = Q₁(1 – h_t) = 600×(1 – 0,433) = 340 кДж.

Рис. 8-2

Значит,

Q₂ = –340 кДж.

При этом по формуле

кДж/К.

2) Энтропия есть функция состояния, поэтому ее приращение для рабочего тела, совершающего круговой процесс, равно нулю. Приращение энтропии теплоотдатчика, от которого теплота отводится (Q₁ < 0),

кДж/К.

К теплоприемнику теплота подводится (Q₂ > 0), поэтому

кДж/К.

Приращение энтропии системы

DS_c = DS₁ – DS₂ = – 0,800 + 1,133 = 0,333 кДж/К.

Таким образом установлено, что вследствие необратимости процесса, как и следовало ожидать,

а DS_c > 0.

Пример. Адиабатно изолированная система состоит из двух одинаковой массы М = 10 кг, но разной температуры. От первого тела с температурой = 1000 К передается 920 кДж теплоты второму телу с температурой = 500 К. Удельные теплоемкости одинаковы и равны с = 0,46 кДж/(кг×К).

Определить приращение энтропии системы вследствие термической необратимости. Каково было бы приращение энтропии, если бы тела обладали теплоемкостью с → ± ¥.

Решение. Температуру тел в конце процесса определяем по формуле
(с соответствующими индексами)

Так как для первого тела Q = – 920 кДж, то

Для второго тела Q = + 920 кДж и

Приращение энтропии первого тела

кДж/К.

Второго тела

кДж/К.

Приращение энтропии системы

DS_c = – = – 1,028 + 1,549 = 0,521 кДж/К.

Если бы теплоемкости тел стремились к ±¥, то температура тел при отводе и подводе теплоты не изменялась бы. В этом случае изменение энтропии определяется по формуле

Для первого и второго тела получили бы соответственно

кДж/К.

кДж/К.

Приращение энтропии системы

DS_c = – = – 0,92 + 1,84 = 0,92 кДж/К.

Пример. Два одинаковых по массе тела с температурам t₁ =1000 °С и t₂ = 0 °С поставлены в условия теплового контакта до полного выравнивания их температур. При этом первым передается второму 800 кДж теплоты. Теплоемкости тел одинаковы и не зависят от температуры.

Определить: 1) приращение энтропии системы DS_c от необратимости процесса теплообмена; 2) приращение энтропии при передаче первой половины теплоты DS_c1, второй половины — DS_c2 и их отношение DS_c/DS_c2;
3) объяснить с термодинамических позиций, почему приращение энтропии системы при передаче первой и второй половин теплоты оказались неодинаковым.

Решение. 1) Равновесная температура тел в соответствии с условиями задачи может определяться по формуле

ºС.

Полная теплоемкость каждого из тел

кДж/К.

Приращение энтропии системы равно алгебраической сумме приращений энтропии составляющих ее тел

кДж/К;

кДж/К;

кДж/К.

2) При передаче первых 400 кДж теплоты температура тел изменяется на 250 ºС — первое от 1000 °С до 750 °С и второе от 0 °С до 250 °С. Приращение энтропии первого тела будет равно при этом:

кДж/К

второго

кДж/К.

Приращение энтропии системы

кДж/К.

При передаче второй половины теплоты аналогично найдем

кДж/К;

кДж/К;

кДж/К.

Проверка. Суммарное приращение энтропии должно быть равно сумме приращений первой и второй частей процесса

Ранее получено

= 0,864 кДж/К; + = 0,689 + 0,175 = 0,864 кДж/К.

Находим отношение

Передача второй половины теплоты вызвала почти в 4 раза меньшее приращение энтропии, чем первой. Это объясняется тем, что теплообмен происходил при меньшей разности температур и, следовательно, при меньшей степени необратимости.

Пример. Определить эксергию 500 кДж теплоты при темпере 1000 К и потерю эксергии при передаче этого количества теплоты телу с температурой 600 К. Температура среды 290 К. Показать величину эксергии и ее потери схематически на диаграмме Ts.

Решение. Эксергия теплоты

Потеря эксергии

Таким образом, эксергия составляет 72,76 % располагаемого количества теплоты в заданных условиях, а потеря эксергии

На рис. 8-3 площадь 1–2–3–4 выражает эксергию теплоты при Т₁ = 1000 К, а площадь 3–5–6–7 — потерю эксергии, вследствие перехода теплоты на более низкий температурный потенциал Т₂ = 600 К.

Рис. 8-3

Пример. Топливо с теплотой сгорания 40000 кДж/кг сжигается при температуре 1200 °С в атмосферных условиях р = 0,1 МПа, t = 20 °С. Определить эксергию теплоты, полагая теплоемкость продуктов сгорания постоянной. (Разностью энтальпий продуктов сгорания и воздуха в расчете на 1 кг топлива при температуре окружающей среды пренебречь).

Решение. Продукты сгорания топлива являются теплоносителем с изменяющейся температурой, так как при отводе теплоты их температура понижается. Когда она станет равной температуре окружающей среды, работоспособность теплоты будет исчерпана.

Эксергия элементарного количества выделяющейся теплоты

Откуда

или

Здесь — непревратимая теплота, отдаваемая источнику низкой температуры. Приращение энтропии

где полная теплоемкость продуктов сгорания

кДж/К.

Вычисляем

кДж/К.

Искомая величина эксергии определяется по формуле

Ex = Q – T₀ DS = 40000 – 293×54,7 = 24000 кДж.

Таким образом, величина эксергии теплоты сгорания топлива в заданных условиях составляет 60 %. Остальные 40 % — непревратимая теплота.

Пример. Определить эксергию потока углекислого газа при абсолютном давлении равном 0,5 МПа и температуре Т = 500 К. Параметры среды р₀ =
= 0,1 МПа, Т₀ = 293 К. Газ считать идеальным с постоянной теплоемкостью с_р = 0,761 кДж/(кг×К). Представить эксергию на диаграмме Ts с соблюдением масштаба.

Решение. Эксергия потока

ех = i₁ – i₀ – Т_о (s_i – s_o),

где

i₁ – i₀ = с_p(T_l – T₀) = 0,761 (500 – 293) = 157,5 кДж/кг.

Разность энтропий

s₁ – s_o = (s₁ – s_b) – (s₀ – s_b);

кДж/(кг×К);

кДж/(кг×К).

Эксергия потока

ex = 157,5 – 293×0,056 = 141,1 кДж/кг.

Для изображения эксергии на диаграмме Ts (рис. 8-4) принимаем масштаб: энтропия 1 мм = 0,02 кДж/(кг×К); температура 1 мм = 10 К.

На произвольном расстоянии от оси температур проводим параллельную прямую и откладываем на ней в принятом масштабе точку b. От точки b по горизонтали откладываем s₁ — s_b = 0,360 кДж/(кг×К) и находим точки а и 1 и далее, как показано на рис. 8-4. Изобару между точками 1 и b проводим ориентировочно.

Рис. 8-4

Пример. 1 кг рабочего тела подвергается адиабатному дросселированию. Доказать, что потеря эксергии равна произведению абсолютной температуры окружающей среды на изменение энтропии в процессе дросселирования.

Решение. Эксергия в начальном и конечном состоянии соответственно:

еx₁ = i₁ – i₀ – T₀(s₁ – s₀);

ex₂ = i₂ – i₀ – T₀ (s₂ – s₀),

где индекс 1 относится к начальному состоянию, 2 — к конечному, т. е. после дросселирования, 0 — к состоянию окружающей среды. Потеря эксергии равна разности ее значений в начальном и конечном состояниях. Зная, что процесс дросселирования характеризуется постоянством энтальпии, т. е. i₂ = i₁, находим:

Dех = ех₁ – ех₂ = Т₀ (s₂ – s_t),

что и требовалось доказать.

Пример. В регенеративном воздухоподогревателе газотурбинной установки воздух получает теплоту от газов, отработавших в газовой турбине. Газ охлаждается от t₃ = 340 °С до t₄ = 220 ºС, а воздух нагревается от t₁ = 120 °С до t₂ = 240 ^оС. Газ обладает свойствами воздуха. Определить потери эксергии теплоты, отводимой от 1 кг газа и эксергетический КПД теплообменника. Теплоемкость принять по данным молекулярно-кинетической теории. Температура окружающей среды 17 °С.

Давление газа и воздуха не изменяется в процессе теплообмена, потери в окружающую среду отсутствуют.

Решение: Потеря эксергии по формуле Гюи-Стодола равна ex = T₀Ds, где T₀ — абсолютная температура окружающей среды, а Ds — приращение энтропии системы «воздух-отработавшие газы» от необратимости процесса теплообмена при конечной разности температур.

Поскольку энтропия обладает свойством аддитивности, приращение энтропии системы равно алгебраической сумме приращений энтропии тел, составляющих систему.

Ds_с = Ds_в + Ds_г.

Энтропия воздуха, вследствие подвода теплоты увеличивается
(Ds_в >0), а газов, от которых теплота отводится — уменьшается (Ds_г < 0). Массовая изобарная теплоемкость по условию задачи

кДж/(кг×К),

где n¢ — число степеней свободы для воздуха

имеем:

кДж/(кг×К);

кДж/(кг×К).

Следовательно,

Ds_с =0,2675 – 0,2180 = 0,0495 кДж/(кг×К).

Приращение энтропии системы и отдельно энтропии воздуха Ds_в и Ds_г показаны на диаграмме Ts (рис. 8-5), где площадь криволинейных трапеций a12b и a43d равны между собой, так как количество теплоты, полученной воздухом равно количеству теплоты, отданной газами.

Рис. 8-5

Потеря эксергии

Dех = 0,0495×290 = 14,36 кДж/кг.

Эксергетический КПД теплообменного аппарата

а так как

кДж/кг,

окончательно находим

Найденное значение эксергетического КПД получено при том, что никаких потерь по условию задачи в теплообменном аппарате нет, следовательно, все количество теплоты, отданной газами, получено воздухом. Но вследствие перехода этой теплоты на более низкий температурный потенциал почти на 1/4 уменьшилась та часть этой теплоты, которая способна превращаться в работу.

ЗАДАЧИ

8-1. Адиабатно изолированная система состоит из двух тел с разной температурой. От первого тела с температурой Т₁ = 1500 К передается 600 кДж теплоты телу с температурой Т₂. Определить приращение энтропии системы вследствие термической необратимости если Т₂ = 1200; 900; 600 и 300 К.

Ответ: ΔS_с = 0,1; 0,27; 0,6 и 1,6 кДж/(кг×К). Приращение энтропии системы тем больше, чем больше разность температур, а следовательно, и степень необратимости процесса.

8-2. В регенеративном воздухоподогревателе газотурбинной установки теплота в количестве 220 кДж/кг передается от газов,отработавших в газовой турбине, к воздуху. Средняя темпера газов 440 К, воздуха 360 К. Определить приращение энтропии системы вследствие необратимости теплообмена при конечной разности температур.

Ответ: Ds = 0,167 кДж/(кг×К).

8-3. Определить изменение энтропии системы, состоящей из двух однородных тел, в процессе выравнивания их температур. Первое тело массой 5 кг имеет температуру 20 °С, второе массой 2 кг имеет температуру 1000 °С. Массовая теплоемкость обоих тел с = 0,1 кДж/(кг×К).

Ответ: Ds = 0,114 кДж/(кг×К).

8-4. В цилиндре дизеля топливо сгорает при очень высокой температуре (1800 °С и выше), поэтому стенки цилиндра охлаждаются с внешней стороны водой. Температура горячей воды на выходе из двигателя равна t_г = 80 °С, а при входе t_см = 70 ºС. Последняя получается путем подмешивания к горячей воде охлажденной t_х = 40 °С.

Определить требующиеся соотношения между количеством горячей М_г и охлажденной М_х воды для получения заданной температуры смеси t_см и возрастание энтропии DS_с от необратимости, смешения при конечной разности температур в расчете на 1 кг холодной воды. Теплоемкость воды принять с = 4,19 кДж/(кг×К).

Ответ: 3 кг/кг; D S_с = 1872 кДж/К.

8-5. Два баллона соединены между собой трубкой с краном, предварительно закрытым. В первом баллоне, емкость которого в два раза больше второго находится воздух при некотором произвольном давлении. Из второго воздух удален до полного вакуума. После открытия крана воздух перетекает во второй баллон до полного выравнивания давлений.

Определить приращение энтропии 1 кг воздуха от необратимости процесса расширения без производства работы. Теплообменом с окружающей средой пренебречь.

Ответ: DS = 0,1165 кДж/(кг×К).

8-6. 22 кг углекислого газа и 48 кг воздуха, находившиеся предварительно в одинаковом термодинамическом состоянии, смешиваются при постоянном давлении. Определить приращение энтропии от необратимости процесса смешения, считая оба газа идеальными.

Ответ: DS = 9,71 кДж/(кг×К).

8-7. 12 кг воды при температуре t₁ = 90 °C смешивается с 8 кг воды при температуре t₂ = 10 °С. Определить приращение энтропии системы DS _с, принимая теплоемкость воды с = 4,19 кДж/(кг×К).

Найти приращения энтропии и , получающиеся при передаче соответственно первой и второй половин теплоты. Объяснить, почему последние две величины не оказались равными при условии, что количество передаваемой теплоты одно и то же.

Ответ: DS _с = 0,604 кДж/К; = 0,458 кДж/К; = 0,146 кДж/К.

8-8. В котельном воздухоподогревателе к воздуху подводится теплота от газообразных продуктов сгорания топлива. Температура воздуха изменяется от t_вI = 25 °С до t_вII = 125 °С при средней теплоемкоcти c_p = 1,009 кДж/(кг ×К). Температура газов изменяется от t_гI = 400 °С до t_гII = = 305 °С. Потерями в окружающую среду пренебречь. Принять q_в = q_г.

Определить средние температуры подвода и отвода теплоты и приращения энтропии вследствие необратимости процесса Ds _с для системы «воздух — продукты сгорания» в расчете на 1 кг воздуха

Ответ: = 347 К; = 623 К; Ds _с = 0,1291 кДж/(кг×К).

8-9. Определить эксергию 1000 кДж теплоты при различных температурных потенциалах: 2000, 1000 и 500 К. Температура окружающей среды Т_о = 293 К. Показать для всех случаев эксергию теплоты на диаграмме Ts в масштабе: температура 1 мм = 40 К; энтропия 1 мм = 0,05 кДж/К.

Ответ: Ех = 853,5 кДж; 707 кДж и 414 кДж.

8-10. Определить эксергию теплоты, выделяющейся при полном сгорании 1 кг топлива, при следующих условиях. Теплота сгорания равна 32000 кДж/кг, сгорание происходит при температуре 1100 ºС в атмосферных условиях р = 0,1 МПа и t = 27 °С. Полную теплоемкость продуктов сгорания 1 кг топлива Мс принять постоянной.

Ответ: Ех = 18380 кДж или 57,4% теплоты сгорания топлива. Остальные 42,6 % представляют непревратимую теплоту, передаваемую окружающей среде.

8-11. Теплота в количестве 600 кДж передается от источника теплоты с температурой 900 К к телу с температурой 600 К. Температура окружающей среды 300 К. Определить потерю эксергии и показать величину потерь графически на диаграмме Ts.

Ответ: DЕх = 100 кДж.

8-12. В двухконтурном котле с разными давлениями пар конденсируется при постоянной температуре 310 ºС, а вода второго контура испаряется при температуре 200 °С. Количество переданной теплоты равно 1000 кДж. Определить потерю эксергии теплоты, если температура окружающей среды 10 °С. Потерями теплоты в окружающую среду пренебречь.

Ответ: Dех = 113,2 кДж/кг.

8-13. Определить потери эксергии теплоты в паровом котле при следующих данных: средняя температура газов в котле 800 ºС, средняя температура воды и пара, получающих теплоту от продуктов сгорания равна 250 °С. Температура окружающей среды 17 °С. Количество подводимой теплоты к 1 кг q = 2800 кДж/кг.

Ответ: Dех = 796 кДж/кг.

8-14. Определить потери эксергии теплоты при конденсации пара, отработавшего в судовой турбине. Температура пара при конденсации 42 °С, средняя температура охлаждающей воды 20 °С. Температура окружающей среды (забортной воды) 12 °С. Количество отводимой теплоты 2400 кДж/кг.

Ответ: Dех = 160 кДж/кг.

8-15.В топке парового котла теплота в количестве 1000 кДж передается от газов с температурой Т_г = 1500 К к воде с температурой Т_в = 500 К. Температура окружающей среды 290 К.

Определить эксергию теплоты до перехода ее к воде, после перехода к воде и потерю эксергии вследствие необратимости теплообмена при конечной разности температур.

Ответ: Ех_г = 806,7 кДж; Ех_в = 420 кДж; DЕх = 386,7 кДж.

8-16. Углекислый газ находится в потоке при давлении 1,0 МПа притемпературе 600 К. Определить его эксергию (на 1 кг), если давление окружающей среды р₀ = 0,1 МПа и температура Т₀ = 293 К. Представить эксергию графически на Ts диаграмме.

Ответ: ех = 212 кДж/кг.

8-17. Воздух с параметрами окружающей среды р = 0,1 МПа и t = 20 °С поступает в компрессор, где сжимается до давления 1 МПа (абсолютное). При этом его температура оказывается равной 200 °С. Определить приращение эксергии потока воздуха в конце сжатия и в случае его охлаждения при постоянном давлении до начальной температуры. Показать эксергию схематически на диаграмме Ts. Теплоемкость считать постоянной с_р = = 1,01 кДж/(кг×К).

Ответ: Поскольку состояние перед сжатием отвечает состоянию окружающей среды, приращение эксергии равно эксергии воздуха в конце сжатия: при t = 200 °С Dех = ех = 234 кДж/кг; при t = 20 °С Dех = ех = = 194 кДж/кг.

8-18. Воздух, поступающий из окружающей среды при давлении 0,1 МПа и температуре 20 °С адиабатно сжимается в компрессоре до абсолютного давления 0,6 МПа. Определить приращение эксергии потока воздуха в процессе сжатия. Найти потерю эксергии в процессе охлаждения сжатого воздуха до температуры окружающей среды. Каково соотношение между затраченной работой и величиной эксергии сжатого воздуха, неохлажденного? (с_р = 1,01 кДж/(кг×К)).

Ответ: ех = 196 кДж/кг; после охлаждения ех = 151 кДж/кг; Dех = = 45 кДж/кг.

8-19. Отработавшие газы дизеля перед выпуском их из цилиндра имеют температуру t = 460 °C при давлении 0,4 МПа. Определить их эксергию перед началом выпуска и потерю эксергии в процессе выпуска вследствие расширения без производства работы (дросселирование) до давления окружающей среды р_о = 0,1 МПа. Температуру окружающей среды принять равной 20 °С, с_р = 1,02 кДж/(кг×К). Представить процесс на диаграмме Ts и показать на ней эксергию перед началом выпуска, после выпуска и потерю эксергии.

Ответ: ех = 291 кДж/кг; Dех=116 кДж/кг.

8-20. В регенеративном воздухоподогревателе газотурбинной установки воздух нагревается от t₁ = 140 °С до t₂ = 270 °С. Отработавшие газы, передающие теплоту воздуху, охлаждаются от t₃ = 340 °С до t₄ = 210 °С. Газ обладает свойствами воздуха и имеет одинаковый с ним массовый расход. Тепловыми и гидравлическими потерями пренебречь.

Определить потери эксергии на 1 кг газа и эксергетический КПД. Теплоемкость считать постоянной.

Ответ: Dех = 10,3 кДж/кг; h_eх = 0,83.

8-21. Определить потери эксергии и эксергетический КПД регенеративного теплообменного аппарата газотурбинной установки. В теплообменном аппарате воздух нагревается от t₁ = 200 ^oC до t₂ = 400 °С, при этом давление воздуха изменяется от р₁ = 0,5 МПа до р₂ = 0,45 МПа. Газ, выходящий из турбины, охлаждается до t₃ = 450 °С; давление газа в теплообменном аппарате понижается от р₃= 0,15 МПа до р₄ = 0,1 МПа. Teмпература окружающей среды t₀ = 10 °С.

Считать, что газ обладает свойствами воздуха. Считать, что теплообменный аппарат не имеет тепловых потерь. Зависимость теплоемкости от температуры нелинейная.

Ответ: Dех = 78,4 кДж/кг; h_eх = 0,537.

Дата добавления: 2015-11-30