Геометрия масс – 1

Определение. Пусть M – некоторая точка плоскости и m – ненулевое число. Материальной точкой mM называется точка M с числом m, под этим числом будем понимать массу точки M (считая, что она может быть и отрицательной).

Определение. Центром масс системы материальных точек m ₁ A ₁, m ₂ A ₂,… m_nA_n называется точка Z, для которой имеет место равенство:

m₁ +m₂ +…+m_n = .

Теорема о существовании центра масс. Пусть дана система материальных точек m ₁ A ₁, m ₂ A ₂,… m_nA_n, причем сумма масс m ₁+ m ₂+…+ m_n не равна 0, и Z – центр масс этой системы. Тогда для любой точки О верно равенство: .

Обратно: если хотя бы при одном выборе в пространстве точки О выполняется это равенство, то точка Z – центр масс системы материальных точек А₁, А₂,…А_n. (Всякая система, состоящая из конечного числа материальных точек, имеет однозначно определенный центр масс.)

1. а) Пусть в концах отрезка расположены равные массы. Где находится центр масс отрезка?

б) Пусть в концах отрезка длиной 1 расположены массы m ₁ и m ₂. Где находится центр масс отрезка?

Правило рычага. Центр масс двух точек m ₁ A ₁ и m ₂ A ₂ находится на отрезке A ₁ A ₂ и делит его в отношении m ₂: m ₁, считая от точки A ₁ (то есть его положение определяется архимедовым правилом рычага: m₁d₁ = m₂d₂).

2. Найти центр масс треугольника, в вершинах которого расположены одинаковые массы.

3. Точка В является центром масс системы двух точек А₁ и А₂ с массами m₁ и m₂. Докажите, что центр масс системы трех точек А₁, А₂, А₃ с массами m₁, m₂ и m₃ совпадает с центром масс системы двух точек В и А₃ с массами m₁ + m₂ и m₃.

Теорема о группировке масс Пусть в системе, состоящей из n точек отмечены k точек m ₁ A ₁, m ₂ A ₂, … m_kA_k и пусть С – центр масс отмеченных материальных точек. Если всю массу отмеченных точек сосредоточить в их центре масс С, то от этого положение центра масс всей системы не изменится.

4. Докажите, что медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся в отношении 2:1, считая от вершины.

5. Доказать, что центр масс четырехугольника, в вершинах которого расположены одинаковые массы – точка пересечения средних линий.

6. Стороны треугольника ABC, противолежащие вершинам A, B и C имеют длины a, b и c.

a) Доказать, что центр масс системы aA, bB, cC – центр вписанной окружности этого треугольника.

b) В каком отношении биссектриса AA₁ делится точкой пересечения биссектрис?

7. Точка X лежит на стороне BC а точка Y — на стороне AC. При этом BX: XC = 2:1, CY: YA = 3:2. В каком отношении точка пересечения AX и BY делит эти отрезки?

8. M — середина стороны BС треугольника ABC. На медиане AM взяли точку F так, что AF:FM = 4:3. В каком отношении прямая BF делит сторону AC?

9. На стороне AC треугольника ABC взята точка M такая, что AM: MC = 1: 2, а на продолжении стороны CB – точка N такая, что NB = CB. Прямая NM пересекает сторону AB в точке P. В каком отношении эта точка делит сторону AB и отрезок MN?

10. В треугольнике ABC точка F делит сторону BC в отношении 3: 1, считая от вершины B. Точка M отсекает от стороны AB 1/5, а точка P отсекают от сторон AC 1/6, считая соответственно от вершины A. В каком отношении делится каждый из отрезков MP и AF точкой их пересечения?

11. Прямая проходит через вершину A треугольника ABC и середину L медианы BB ₁. В каком отношении делит эта прямая медиану CC ₁?

12. Площадь параллелограмма ABCD равна 1. Точка M делит сторону BC в отношении 3:5, считая от вершины B. Прямые AM и BD пересекаются в точке P. Вычислить площадь четырехугольника CMPD.

Дата добавления: 2015-11-30