Показательные неравенства

Стандартный вид числа

Обозначение корней

Уравнение x^n = a

Свойства арифметического корня n-й степени

Степень с дробным показателем, ее свойства

«Показательные уравнения»

Показательные уравнения — уравнения, в которых неизвестное содержится в показателе степени.
Решение показательных уравнений часто сводится к решению уравнения вида a^x = a ^b, где a > 0, a ≠ 1, x — неизвестное. Это уравнение решается с помощью свойства степени: степени с одинаковым основанием a > 0, a ≠ 1 равны только тогда, когда равны их показатели.

Примеры решений показательных уравнений:

1. Решить уравнение 7^x = 13^x.

Так как 13^x ≠ 0, то уравнение можно записать в виде 7^x / 13^x = 1, откуда (7/13)^x = 1, x = 0.
Ответ: x = 0.

2. Решить уравнение 9^x — 4·3^x — 45 = 0.

Заменой 3^x = t данное уравнение сводится к квадратному уравнению t² — 4t — 45 = 0. Решая это уравнение, находим его корни: t₁ = 9, t₂ = —5, откуда 3^x = 9, 3^x = —5. Уравнение 3^x = 9 имеет корень x = 2, а уравнение 3^x = —5 не имеет корней, так как показательная функция не может принимать отрицательные значения.
Ответ: x = 2.

Показательные неравенства

В этой статье, как вы догадались, речь пойдет о решении показательных неравенств. Простейшее показательное неравенство имеет вид:

V , где V – один из знаков: <,>,≤, или ≥.

Чтобы решить показательное неравенство, нам нужно от сравнения степеней перейти к сравнению показателей.

Как мы помним, показательная функция возрастает при всех действительных значениях , если . Это значит, что большему значению аргумента соответствует большее значение функции. То есть из неравенства

следует неравенство

Аналогично, так как показательная функция убывает, если , и большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции, из неравенства

следует неравенство

То есть при решении простейших показательных неравенств прежде чем сравнивать выражения, стоящие в показателе степени, нужно сравнить с единицей основание степеней.

Еще раз, это важно:

если основание степени больше единицы, то при переходе к выражениям, стоящим в показателе, знак неравенства сохраняется

если основание степени больше нуля, но меньше единицы, то при переходе к выражениям, стоящим в показателе, знак неравенства меняется на противоположный.

Все показательные неравенства любого уровня сложности, в конечном итоге, сводятся к решению простейших показательных неравенств.

Дата добавления: 2015-11-30