Розрахунково-графічна робота 3 страница

Розглянемо послідовно всі чотири ділянки балки.

І ділянка – м:

,

.

Числові значення Q₁ та M₁ на границях ділянки:

при кН, кН·м;

при м кН, кН*м.

II ділянка м.

,

.

Числові значення Q₂ та M₂ на границях ділянки:

при м кН, кН·м.

при м кН, кН·м.

III ділянка м.

,

.

Числові значення Q₃ та M₃ на границях ділянки:

при м кН, кН·м.

при м кН, кН·м.

ІV ділянка – м:

,

.

Числові значення Q₄ та M₄ на границях ділянки:

при м кН, кН·м.

при м кН, .

3. За отриманими числовими значеннями та будуємо їх епюри в прийнятому масштабі з урахуванням знаків (рис. 13 в,г).

4. Підбір поперечного перерізу балки.

Переріз балки підбираємо по максимальному згинальному моменту з умови міцності при згині за нормальними напруженнями

.

Тоді момент опору, який визначається з умови міцності, дорівнює:

.

Якщо поперечний переріз балки круглий, осьовий момент опору визначається за формулою

,

де діаметр перерізу.

Звідки шуканий діаметр круглого поперечного перерізу балки

м

Приймаємо см.

Приклад 5. ЗГИН ДВОХОПОРНОЇ БАЛКИ

Дано: Схема рис. 14 а; l₂=6 м; а₁=1 м; а₂=5 м; а₃=2 м; M=4 кН·м;

q=2 кН/м; .

Потрібно написати вирази Q і М для кожної ділянки в загальному вигляді, побудувати епюри Q і М, знайти M_max, і підібрати стальну балку двотаврового поперечного перерізу при [ s ] =160 МПа

Рішення.

1. Визначення опорних реакцій.

Невідомі реакції R_A і M_A знаходимо з рівнянь рівноваги:

; =0;

= кН.

; ;

кН.

Перевіряємо правильність визначення опорних реакцій:

; .

Отже опорні реакції визначені вірно.

2. Аналітичні вирази для Q_i i M_i

Для складання аналітичних виразів Q_i i M_i, як і в попередньому прикладі 3, розбиваємо балку на розрахункові ділянки (рис.14 б) і використовуємо метод перерізів. Початок координат розміщуємо на лівому кінці балки, вісь x направляємо вправо вздовж осі балки. В даному випадку балка має три ділянки:

Розглянемо послідовно всі три ділянки балки.

І ділянка м:

;

.

Числові значення Q₁ та M₁ на границях ділянки:

при кН, кН·м;

при м кН, кН*м.

II ділянка м.

кН;

;

Числові значення Q₂ та M₂ на границях ділянки:

при м кН, кН·м.

при м кН, кН·м.

III ділянка м.

;

Рис. 14

г)

Числові значення Q₃ та M₃ на границях ділянки:

при м кН,

кН·м.

при м кН,

кН·м.

Оскільки на даній ділянці поперечна сила змінює знак, то на епюрі згинальних моментів (в перерізі, де Q₃=0) буде максимальний згинальний момент. Для його визначення знаходимо значення , при якому Q₃=0, для чого вираз прирівнюємо до нуля.

, звідки м.

Після цього, підставивши значення м в рівняння згинального моменту , отримаємо .

кН*м.

2. За отриманими числовими значеннями та будуємо їх епюри в прийнятому масштабі з урахуванням знаків (рис. 14 в,г).

3. Підбір поперечного перерізу балки.

Переріз балки підбираємо по максимальному згинальному моменту з умови міцності при згині за нормальними напруженнями

.

Тоді необхідний осьовий момент опору, який визначається з умови міцності

см³.

По сортаменту (ГОСТ 8239-72) приймаємо двотавр № 12, який має момент опору см³.

Приклад 6. ПОЗАЦЕНТРОВИЙ СТИСК ПРЯМОГО СТЕРЖНЯ

Дано: Схема рис. 15; стискаюча сила F прикладена в точці А; а=10 см; b=40 cм; ; .

Рис. 15

Рішення

1. Знаходження центру ваги поперечного перерізу стержня.

Переріз складається з двох частин: прямокутника з центром в точці С₁ (a’=0,414·a) і півкруга з центром в точці С₂.

Площі частин перерізу дорівнюють: прямокутника – см², півкруга - см².

Загальна площа перерізу см².

Розташуємо початкову систему координат y_oz_o з центром в точці О так, щоб вісь y_o співпадала з віссю симетрії перерізу, а вісь z_o проходила по границі між прямокутником і півкругом. Вісь y_o направляємо вліво, а вісь z_o вгору. (рис. 12). В цій системі координат центри ваги частин перерізу мають координати: y₁=-b/2=-20 см, z₁=0, y₂=a^’=0,414·a=4,14 см, z₂=0.

Координати центру ваги складеного перерізу визначаються з виразів

; ;

Після підстановки вихідних даних, отримаємо

см; .

2. Знаходження моментів інерції перерізу відносно головних центральних осей та визначення радіусів інерції.

Осьові моменти частин перерізу відносно їх головних центральних осей визначаються за формулами:

прямокутника - , ;

півкруга - , .

Підставляючи вихідні дані, отримаємо

см⁴, см⁴.

см⁴, см⁴.

Проведемо через центр ваги перерізу точку С головні центральні осі перерізу: вісь y – вліво вздовж осі симетрії та вісь z – вгору перпендикулярно до осі y.

Координати центрів ваги складових частин перерізу в системі головних центральних осей перерізу складають:

см, .

см, .

Осьові моменти інерції складеного перерізу відносно головних центральних осей z, y визначаються за формулами:

;

Після підстановки відповідних числових даних отримаємо

см⁴;

см⁴;

Квадрати радіусів інерції поперечного перерізу визначаються з виразів

см².

см²,

3. Визначення положення нейтральної лінії

Рівняння нейтральної лінії має вигляд:

,

де координати точки прикладання стискаючої сили, радіуси інерції поперечного перерізу, координати точок нейтральної лінії.

Виходячи з цього рівняння, з урахуванням значень координат точки прикладання стискаючої сили , знайдемо відрізки, що відсікаються нейтральною лінією на головних центральних осях перерізу, поклавши

:

см,

.

Таким чином нейтральна лінія перерізу – пряма, паралельна осі , що перетинає віcь в точці з координатою см (див. рис. 15). Нейтральна лінія (н.л.) ділить переріз на дві частини: в точках перерізу зліва від н.л. діють стискаючі напруження, справа – розтягуючі. Максимальні стискаючі напруження діють в найбільш віддаленій вліво від нейтральної лінії точці А ( см), максимальні розтягуючи напруження – в точках найбільш віддаленого вправо від н.л. вертикального відрізка прямої контура перерізу, наприклад в точці В ( см).

4. Обчислення найбільшого розтягуючого і найбільшого стискаючого напруження в поперечному перерізі через F, і розміри перерізу.

Найбільші за абсолютною величиною стискаюче () та розтягуюче () напруження визначаються з виразів

,

Підставляючи числові дані, знаходимо

.

4. Знаходження допустимого навантаження F при заданих розмірах перерізу і допустимих напруженнях для чавуну на стиск [ s_С ] і на розтяг [ s_Р ].

Умови міцності на стиск і розтяг мають вигляд:

, .

Звідки визначимо значення допустимого навантаження з умови міцності на стиск (значення допустимих напружень на стиск записуємо зі знаком мінус)

кН,

А значення допустимого навантаження з умови міцності на розтяг

кН.

Допустимим навантаженням буде кН - менше із двох знайдених .

Приклад 7. ЗГИН З КРУЧЕННЯМ

Дано: Схема рис. 16; а=1,0 м; b=1,0 м; c=1,0 м; D₁ = 1,0 м; D₂ =1,0 м; ; ; N=15кВт; n=150 об/хв, МПа.

I-I

Рис. 16

Рішення:

1. Визначення моментів, прикладених до шківів.

Моменти (Н·м), прикладені до шківів, обчислюються за формулою

,

де N – потужність, що передається через шків в кВт, n – частота обертання шківа в об/хв.

З урахуванням вихідних даних, отримуємо:

для веденого шківа - Н·м;

для ведучого шківа - Н·м.

2. Побудова епюри крутних моментів М_КР.

Використовуємо метод перерізів. Початок системи координат розташовуємо на лівому кінці валу (лівій опорі). Вісь х направляємо вправо вздовж осі валу. Розбиваємо вал на ділянки, межами яких є перерізи, в яких прикладені зовнішні моменти (в даному випадку чотири ділянки). Потім на кожній ділянці проводимо переріз, відкидаємо, в даному випадку, праву частину валу і розглядаємо рівновагу лівої частини (рис. 16 а).

Крутний момент в довільному перерізі вала чисельно дорівнює алгебраїчній сумі зовнішніх моментів, які діють відносно геометричної осі вала по один бік від розглядуваного перерізу.

З урахуванням прийнятого правила знаків (крутний момент в перерізі вважається позитивним, якщо при спостеріганні з боку зовнішньої нормалі до перерізу, він намагається обернути переріз за годинниковою стрілкою) запишемо вирази крутних моментів для кожної з чотирьох ділянок та обчислимо їх значення з використанням отриманих вище значень M₁ і M₂:

;

Н·м;

Н·м;

.

За отриманими даними будуємо епюру крутних моментів М_КР.

3. Визначення колових зусиль та тисків на вал.

Колові зусилля, діючі на шківи, визначаємо з виразу: .

Після підстановки відповідних числових даних, знаходимо

Н;

Н.

Тоді тиски на вал (рис. 17) складатимуть Н, Н.

3.Визначення сил, що згинають вал в горизонтальній і вертикальній площинах (рис. 17).

Горизонтальні та вертикальні складові тисків на вал дорівнюють:

Н;

Н;

Н;

Н.

Рис. 17

5. Побудува епюр згинальних моментів від горизонтальних сил М_ГОР і від вертикальних сил М_ВЕРТ.

Розглянемо сили, що діють на вал у горизонтальній площині (рис.18 а).

Враховуючи симетрію задачі знайдемо горизонтальні складові опорних реакцій: .

Використовуючи метод перерізів запишемо вирази для згинальних моментів від горизонтальних сил М_ГОР та обчислимо їх значення на кожній ділянці:

;

;

при м ;

при м Н·м;

;

при 2 м Н·м;

при 3 м Н·м;

;

За отриманими даними будуємо епюру згинальних моментів від горизонтальних сил М_ГОР (рис. 18 б)

Аналогічно, розглянувши умови рівноваги вала пі дією сил у вертикальній площині (рис. 18 в) знайдемо вертикальні складові опорних реакцій Н та моменти від вертикальних сил на кожній ділянці.

;

при ;

Дата добавления: 2015-11-30